Em matemática, os polinômios de Macdonald Pλ(x; t,q) são uma família de polinômios simétricos ortogonais em várias variáveis, introduzidos por Macdonald em 1987. Ele posteriormente introduziu uma generalização não simétrica em 1995. Macdonald originalmente associou seus polinômios com pesos λ de sistemas de raízes finitos e usou apenas uma variável t, mas depois percebeu que é mais natural associá-los a sistemas de raízes afins em vez de sistemas de raízes finitos, caso em que a variável t pode ser substituída por várias variáveis diferentes t=(t1,...,tk), uma para cada uma das k órbitas de raízes no sistema de raízes afim. Os polinômios de Macdonald são polinômios em n variáveis x=(x1,...,xn), onde n é o posto do sistema de raízes afim. Eles generalizam muitas outras famílias de polinômios ortogonais, como os polinômios de Jack e polinômios de Hall-Littlewood e os polinômios de Askey-Wilson, que por sua vez incluem a maioria dos polinômios ortogonais de 1 variável nomeados como casos especiais. Os polinômios de Koornwinder são polinômios de Macdonald de certos sistemas de raízes não reduzidos. Eles têm relações profundas com álgebras de Hecke afins e esquemas de Hilbert, que foram usados para provar várias conjecturas feitas por Macdonald sobre eles.
Definição Primeiramente, vamos fixar alguma notação: R é um sistema de raízes finito em um espaço vetorial real V. R+ é uma escolha de raízes positivas, à qual corresponde uma câmara de Weyl positiva. W é o grupo de Weyl de R. Q é o reticulado de raízes de R (o reticulado gerado pelas raízes). P é o reticulado de pesos de R (contendo Q). Uma ordenação nos pesos: se e somente se é uma combinação linear não negativa de raízes simples. P+ é o conjunto de pesos dominantes: os elementos de P na câmara de Weyl positiva. ρ é o vetor de Weyl: a metade da soma das raízes positivas; este é um elemento especial de P+ no interior da câmara de Weyl positiva. F é um corpo de característica 0, geralmente os números racionais. A = F(P) é a álgebra de grupo de P, com uma base de elementos escritos como eλ para λ ∈ P. Se f = eλ, então f significa e−λ, e isso é estendido por linearidade para toda a álgebra de grupo. mμ = Σλ ∈ Wμeλ é uma soma de órbita; esses elementos formam uma base para a subálgebra AW de elementos fixados por W. , o símbolo q-Pochhammer infinito.
é o produto interno de dois elementos de A, pelo menos quando t é uma potência inteira positiva de q.
Os polinômios de Macdonald Pλ para λ ∈ P+ são definidos de forma única pelas duas condições a seguir: onde uλμ é uma função racional de q e t com uλλ = 1; Pλ e Pμ são ortogonais se λ < μ.
Em outras palavras, os polinômios de Macdonald são obtidos ortogonalizando a base óbvia para AW. A existência de polinômios com essas propriedades é fácil de mostrar (para qualquer produto interno). Uma propriedade chave dos polinômios de Macdonald é que eles são ortogonais: 〈Pλ, Pμ〉 = 0 sempre que λ ≠ μ. Isto não é uma consequência trivial da definição porque P+ não é totalmente ordenado e, portanto, tem muitos elementos que são incomparáveis. Assim, deve-se verificar se os polinômios correspondentes continuam sendo ortogonais. A ortogonalidade pode ser provada mostrando que os polinômios de Macdonald são autovetores para uma álgebra de operadores auto-adjuntos comutativos com autoespaços de dimensão 1, e usando o fato de que autoespaços para diferentes autovalores devem ser ortogonais.
No caso de sistemas de raízes não simplesmente ligados (B, C, F, G), o parâmetro t pode ser escolhido de modo a variar com o comprimento da raiz, dando uma família de três parâmetros de polinômios de Macdonald. Pode-se também estender a definição para o sistema de raízes não reduzido BC, caso em que se obtém uma família de seis parâmetros (um t para cada órbita de raízes, mais q) conhecidos como polinômios de Koornwinder. Às vezes é melhor considerar que os polinômios de Macdonald dependem de um sistema de raízes afim possivelmente não reduzido. Nesse caso, há um parâmetro t associado a cada órbita de raízes no sistema de raízes afim, além de um parâmetro q. O número de órbitas de raízes pode variar de 1 a 5.
Exemplos
Se q = t os polinômios de Macdonald tornam-se os caracteres de Weyl das representações do grupo compacto do sistema de raízes, ou as funções de Schur no caso de sistemas de raízes do tipo A. Se q = 0 os polinômios de Macdonald tornam-se as funções esféricas zonais (reescalonadas) para um grupo p-ádico semissimples, ou os polinômios de Hall-Littlewood quando o sistema de raízes tem tipo A. Se t=1 os polinômios de Macdonald tornam-se as somas sobre órbitas W, que são as funções simétricas monomiais quando o sistema de raízes tem tipo A. Se colocarmos t = qα e deixarmos q tender a 1, os polinômios de Macdonald tornam-se polinômios de Jack quando o sistema de raízes é do tipo A, e polinômios de Heckman-Opdam para sistemas de raízes mais gerais. Para o sistema de raízes afim A1, os polinômios de Macdonald são os polinômios de Rogers. Para o sistema de raízes afim não reduzido de posto 1 do tipo (C, C1), os polinômios de Macdonald são os polinômios de Askey-Wilson, que por sua vez incluem como casos especiais a maioria das famílias nomeadas de polinômios ortogonais em 1 variável. Para o sistema de raízes afim não reduzido do tipo (C, Cn), os polinômios de Macdonald são os polinômios de Koornwinder.
A conjectura do termo constante de Macdonald
Se t = qk para algum número inteiro positivo k, então a norma dos polinômios de Macdonald é dada por
Isto foi conjecturado por Macdonald (1982) como uma generalização da conjectura de Dyson, e provado para todos os sistemas de raízes (reduzidos) por Cherednik (1995) usando propriedades das álgebras de Hecke afins duplas. A conjectura já havia sido provada caso a caso para todos os sistemas de raízes, exceto os do tipo En, por vários autores.
Existem duas outras conjecturas que, juntamente com a conjectura da norma, são coletivamente referidas como as conjecturas de Macdonald neste contexto: além da fórmula para a norma, Macdonald conjecturou uma fórmula para o valor de Pλ no ponto tρ, e uma simetria
Mais uma vez, elas foram provadas para sistemas de raízes reduzidos gerais por , usando álgebras de Hecke afins duplas, com a extensão para o caso BC seguindo logo depois através do trabalho de van Diejen, Noumi e Sahi.
A conjectura de positividade de Macdonald
No caso de sistemas de raízes do tipo An−1, os polinômios de Macdonald são simplesmente polinômios simétricos em n variáveis com coeficientes que são funções racionais de q e t. Uma certa versão transformada dos polinômios de Macdonald (veja a Fórmula combinatória abaixo) forma uma base ortogonal do espaço de funções simétricas sobre , e portanto pode ser expressa em termos das funções de Schur . Os coeficientes Kλμ(q,t) destas relações são chamados de coeficientes de Kostka-Macdonald ou coeficientes qt-Kostka. Macdonald conjecturou que os coeficientes de Kostka-Macdonald eram polinômios em q e t com coeficientes inteiros não negativos. Estas conjecturas estão agora provadas; o passo mais difícil e final foi provar a positividade, o que foi feito por Mark Haiman (2001), provando a conjectura n!.
Ainda é um problema central aberto na combinatória algébrica encontrar uma fórmula combinatória para os coeficientes qt-Kostka.
Conjectura n! A conjectura n! de Adriano Garsia e Mark Haiman afirma que para cada partição μ de n o espaço
gerado por todas as derivadas parciais superiores de
tem dimensão n!, onde (pj, qj) percorrem os n elementos do diagrama da partição μ, considerado como um subconjunto dos pares de números inteiros não negativos. Por exemplo, se μ é a partição 3 = 2 + 1 de n = 3, então os pares (pj, qj) são (0, 0), (0, 1), (1, 0), e o espaço Dμ é gerado por
que tem dimensão 6 = 3!.
A prova de Haiman da conjectura de positividade de Macdonald e da conjectura n! envolveu mostrar que o esquema de Hilbert isoespectral de n pontos num plano era Cohen-Macaulay (e até mesmo um anel de Gorenstein). Resultados anteriores de Haiman e Garsia já haviam mostrado que isso implicava a conjectura n!, e que a conjectura n! implicava que os coeficientes de Kostka-Macdonald eram multiplicidades de caracteres graduadas para os módulos Dμ. Isso implica imediatamente na conjectura de positividade de Macdonald porque as multiplicidades de caracteres devem ser números inteiros não negativos.
Ian Grojnowski e Mark Haiman encontraram outra prova da conjectura de positividade de Macdonald provando uma conjectura de positividade para os polinômios LLT.
Fórmula combinatória para os polinômios de Macdonald
Em 2005, J. Haglund, M. Haiman e N. Loehr deram a primeira prova de uma interpretação combinatória dos polinômios de Macdonald. Em 1988, I. G. Macdonald deu a segunda prova de uma interpretação combinatória dos polinômios de Macdonald (equações (4.11) e (5.13)). A fórmula de Macdonald é diferente daquela no trabalho de Haglund, Haiman e Loehr, com muito menos termos (esta fórmula é provada também no trabalho seminal de Macdonald, Cap. VI (7.13)). Embora sejam muito úteis para cálculos e interessantes por si só, suas fórmulas combinatórias não implicam imediatamente a positividade dos coeficientes de Kostka-Macdonald pois dão a decomposição dos polinômios de Macdonald em funções simétricas monomiais em vez de funções de Schur.
Escritas nos polinômios de Macdonald transformados em vez do habitual , elas são
onde σ é um preenchimento do diagrama de Young de forma μ, inv e maj são certas estatísticas combinatórias (funções) definidas no preenchimento σ. Esta fórmula expressa os polinômios de Macdonald em infinitas variáveis. Para obter os polinômios em n variáveis, basta restringir a fórmula aos preenchimentos que usam apenas os inteiros 1, 2, ..., n. O termo xσ deve ser interpretado como onde σi é o número de caixas no preenchimento de μ com conteúdo i.
miniatura|Isto retrata o braço e a perna de um quadrado de um diagrama de Young. O braço é o número de quadrados à sua direita, e a perna é o número de quadrados acima dele.
Os polinômios de Macdonald transformados na fórmula acima estão relacionados aos polinômios de Macdonald clássicos através de uma sequência de transformações. Primeiro, a forma integral dos polinômios de Macdonald, denotada por , é um reescalonamento de que elimina os denominadores dos coeficientes:
onde é a coleção de quadrados no diagrama de Young de , e e denotam o braço e a perna do quadrado , como mostrado na figura. Nota: A figura à direita usa a notação francesa para o tableau, que é invertida verticalmente em relação à notação inglesa usada na página da Wikipédia sobre diagramas de Young. A notação francesa é mais comumente usada no estudo dos polinômios de Macdonald.
Os polinômios de Macdonald transformados podem então ser definidos em termos dos 's. Nós temos
onde
A notação de colchetes acima denota a substituição pletística.
Esta fórmula pode ser usada para provar a fórmula de Knop e Sahi para os polinômios de Jack.
Polinômios de Macdonald não simétricos
Em 1995, Macdonald introduziu um análogo não simétrico dos polinômios de Macdonald simétricos, e os polinômios de Macdonald simétricos podem ser facilmente recuperados a partir da contraparte não simétrica. Na sua definição original, ele mostra que os polinômios de Macdonald não simétricos são uma família única de polinômios ortogonais a um certo produto interno, além de satisfazerem uma propriedade de triangularidade quando expandidos na base monomial.
Em 2007, Haglund, Haiman e Loehr deram uma fórmula combinatória para os polinômios de Macdonald não simétricos.
Os polinômios de Macdonald não simétricos se especializam em caracteres de Demazure tomando q=t=0, e em polinômios-chave quando q=t=∞.
Fórmulas combinatórias baseadas no processo de exclusão