As séries de Eisenstein, nomeadas em homenagem ao matemático alemão Gotthold Eisenstein, são formas modulares particulares com expansões em séries infinitas que podem ser escritas de forma direta. Originalmente definidas para o grupo modular, as séries de Eisenstein podem ser generalizadas na teoria de formas automórficas.
Séries de Eisenstein para o grupo modular miniatura|A parte real de como uma função de no disco unitário. Os números negativos estão em preto. miniatura|A parte imaginária de como função de no disco unitário.
Seja um número complexo com parte imaginária estritamente positiva. Defina a série de Eisenstein holomorfa de peso , onde é um inteiro, pela seguinte série:
Esta série converge absolutamente para uma função holomorfa de no semiplano superior e sua expansão de Fourier dada abaixo mostra que ela se estende a uma função holomorfa em . É um fato notável que a série de Eisenstein seja uma forma modular. De fato, a propriedade chave é a sua invariância em relação ao grupo . Explicitamente, se e , então
Note que é importante assumir que para garantir a convergência absoluta da série, pois caso contrário seria ilegítimo alterar a ordem de soma na demonstração da invariância sob . De fato, não existem formas modulares não triviais de peso 2. Não obstante, um análogo da série de Eisenstein holomorfa pode ser definido mesmo para , embora isso seria apenas uma forma quase-modular. É também necessário que o peso seja par, pois de outra forma a soma se anula porque os termos e se cancelam mutuamente.
Relação com os invariantes modulares Os invariantes modulares e de uma curva elíptica são dados pelas duas primeiras séries de Eisenstein:
O artigo sobre invariantes modulares fornece expressões para estas duas funções em termos de funções teta.
Relação de recorrência Qualquer forma modular holomorfa para o grupo modular pode ser escrita como um polinômio em e . Especificamente, o de ordem superior pode ser escrito em termos de e através de uma relação de recorrência. Seja , de modo que, por exemplo, e . Então, os satisfazem a relação
para todo . Aqui, é o coeficiente binomial.
Os ocorrem na expansão em série para as funções elípticas de Weierstrass:
Série de Fourier direita|miniatura| direita|miniatura| direita|miniatura| direita|miniatura| direita|miniatura| direita|miniatura|
Defina . (Alguns livros mais antigos definem como o nome , mas agora é padrão na teoria dos números.) Então a série de Fourier da série de Eisenstein é
onde os coeficientes são dados por
Aqui, são os números de Bernoulli, é a função zeta de Riemann e é a função soma de divisores, a soma das potências -ésimas dos divisores de . Em particular, tem-se
A soma sobre pode ser ressumada como uma série de Lambert; ou seja, tem-se
para e complexos arbitrários. Ao trabalhar com a expansão- das séries de Eisenstein, essa notação alternativa é frequentemente introduzida:
Identidades envolvendo as séries de Eisenstein
Como funções teta Fonte:
Dado , seja
e defina as funções teta de Jacobi que normalmente usam o nome ,
onde e são notações alternativas. Então temos as relações simétricas,
Álgebra elementar implica imediatamente
uma expressão relacionada ao discriminante modular,
A terceira relação simétrica, por outro lado, é consequência de e .
Produtos de séries de Eisenstein
As séries de Eisenstein formam os exemplos mais explícitos de formas modulares para o grupo modular completo . Uma vez que o espaço de formas modulares de peso tem dimensão 1 para , produtos diferentes de séries de Eisenstein com esses pesos devem ser iguais a menos de um múltiplo escalar. De fato, obtemos as identidades:
Usando as expansões- das séries de Eisenstein dadas acima, elas podem ser reescritas como identidades envolvendo as somas das potências de divisores:
logo
e de forma similar para as outras. A função teta de um reticulado unimodular par octodimensional é uma forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, o que nos dá as seguintes identidades:
para o número de vetores de comprimento ao quadrado no reticulado de raízes do tipo .
Técnicas análogas envolvendo séries de Eisenstein holomorfas submetidas a caracteres de Dirichlet produzem fórmulas para o número de representações de um inteiro positivo como a soma de dois, quatro ou oito quadrados em termos dos divisores de .
Usando a relação de recorrência descrita acima, todas as de ordem superior podem ser expressas como polinômios em e . Por exemplo:
Muitas relações entre produtos de séries de Eisenstein podem ser escritas de uma maneira muito elegante utilizando determinantes de Hankel, por ex., a identidade de Garvan
onde
é o discriminante modular. O artigo utiliza uma definição não equivalente de , mas isto foi corrigido ao longo deste artigo.
Identidades de Ramanujan Srinivasa Ramanujan apresentou várias identidades interessantes entre as primeiras séries de Eisenstein envolvendo derivação. Sejam
então
Essas identidades, assim como as identidades entre as séries, produzem identidades aritméticas de convolução envolvendo a função soma de divisores. Seguindo Ramanujan, para colocar essas identidades na forma mais simples, é necessário estender o domínio de para incluir o zero, definindo
E, desta forma, por exemplo
Outras identidades deste tipo, contudo não relacionadas de forma direta às relações precedentes entre as funções , e , foram provadas por Ramanujan e Giuseppe Melfi, tais como
Generalizações As formas automórficas generalizam a ideia de formas modulares para grupos de Lie semissimples gerais, onde o grupo modular é substituído por um grupo aritmético. Robert Langlands generalizou a teoria das séries de Eisenstein para este ambiente.
Quando o grupo de Lie é do tipo A1, a teoria se assemelha ao caso clássico. Por exemplo, as formas modulares de Hilbert são bem estudadas.
Referências
Leitura adicional Traduzido para o inglês em
Categoria:Séries matemáticas Categoria:Formas modulares Categoria:Teoria analítica dos números Categoria:Fractais