En matemáticas, os números de Euler son unha secuencia En de enteiros definida pola expansión da serie de Taylor

,

onde é a función coseno hiperbólica. Os números de Euler están relacionados cos polinomios de Euler, avaliados no valor , a saber:

Os números de Euler aparecen nas expansións da serie de Taylor das funcións secante e secante hiperbólica. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en combinatoria, concretamente cando se conta o número de permutacións alternadas dun conxunto cun número par de elementos.

Exemplos Os números de Euler impares son todos cero. Os de índice par teñen signos alternados. Algúns valores son:

Fórmulas explícitas

En termos de números de Stirling do segundo tipo As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de números de Stirling do segundo tipo:

onde denota os números de Stirling do segundo tipo, e denota o factorial ascendente.

Como dobre suma As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres

Como suma iterada Unha fórmula explícita para os números de Euler é:

onde denota a unidade imaxinaria con .

Como suma sobre particións O número de Euler pódese expresar como unha suma sobre as particións pares de ,

así como unha suma sobre as particións impares de ,

onde en ambos os casos e

é un coeficiente multinomial. Os deltas de Kronecker nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os s a e a , respectivamente.

Como exemplo,

Como determinante is given by the determinant

Como integral is also given by the following integrals:

Límite inferior Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior

Números en zigzag de Euler A serie de Taylor é

onde son os números en zigzag de Euler, comezando por

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,...

Para todos os pares temos

onde é o número de Euler.

Para todo impar temos,

onde son os números de Bernoulli.

Notas

Véxase tamén Bibliografía Outros artigos Número de Bernoulli. Constante de Euler-Mascheroni Ligazóns externas

Categoría:Teoría de números Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas