En combinatoria, o número euleriano é o número de permutacións dos números 1 a no que exactamente elementos son maiores que o elemento anterior (permutacións con "ascendentes").

Leonhard Euler investigounos e tamén os seus polinomios asociados no seu libro de 1755 Institutiones calculi differentialis. dereita|miniatura|303x303px| Os polinomios actualmente coñecidos como polinomios eulerianos no traballo de Euler de 1755, Institutiones calculi differentialis, parte 2, p. 485/6. Os coeficientes destes polinomios coñécense como números eulerianos. Outras notacións para son e .

Definición Os polinomios eulerianos están definidos pola función xeradora exponencial

Os números eulerianos pódense definir como os coeficientes dos polinomios eulerianos:

Unha fórmula explícita para é

alt=A plot of the Eulerian numbers with the second argument fixed to 5.|miniatura| Un gráfico dos números eulerianos co segundo argumento fixado en 5.

Propiedades básicas

Para un fixo hai unha única permutación que ten 0 ascendentes: . De feito, como para todos os , . Isto inclúe formalmente o conxunto baleiro de números, . E . Para , a fórmula explícita implica que , unha sucesión en que consiste nos números . Inverter completamente unha permutación con ascendentes crea outra permutación na que hai ascendentes. Polo tanto . Así que tamén hai unha única permutación que ten ascendentes, esta é a permutación ascendente . Así, tamén é igual a . Para , os valores son formalmente cero, o que significa que moitas sumas sobre pódense escribir cun índice superior só ata . Tamén significa que os polinomios son realmente de grao para .

A tabulación dos números nunha matriz triangular chámase triángulo de Euler. Comparte algunhas características comúns co triángulo de Pascal. Valores de para son:

{| class="wikitable" style="text-align:right;" |- ! ! width="50" | 0 ! width="50" | 1 ! width="50" | 2 ! width="50" | 3 ! width="50" | 4 ! width="50" | 5 ! width="50" | 6 ! width="50" | 7 ! width="50" | 8 |- ! 0 | 1 || || || || || || || || |- ! 1 | 1 || || || || || || || || |- ! 2 | 1 || 1 || || || || || || || |- ! 3 | 1 || 4 || 1 || || || || || || |- ! 4 | 1 || 11 || 11 || 1 || || || || || |- ! 5 | 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || || |- ! 6 | 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || || |- ! 7 | 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || || |- ! 8 | 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 || |- ! 9 | 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1

Cálculo Para valores maiores de , tamén se pode calcular usando a fórmula recursiva

Esta fórmula pode ser motivada a partir da definición combinatoria e, polo tanto, serve como punto de partida natural para a teoría.

Aplicando a recorrencia a un exemplo, podemos atopar

Así mesmo, os polinomios eulerianos pódense calcular pola recorrencia

A segunda fórmula pódese transformar nunha forma con sumatorio,

Identidades Os números eulerianos dividen as permutacións de elementos, polo que a súa suma é igual ao factorial . Así temos

con . Para evitar conflitos coa convención de suma baleira, é conveniente simplemente indicar os teoremas só para .

Moito máis xeralmente, para unha función fixada integrábel no intervalo

A identidade de Worpitzky expresa como a combinación linear de números eulerianos con coeficientes binomiais:

Dela, despréndese que

Fórmulas que implican sumas alternadas A suma alternada dos números eulerianos para un valor fixo de está relacionado co número de Bernoulli do seguinte xeito

Fórmulas que implican polinomios A propiedade de simetría implica:

Os números eulerianos están implicados na función xeradora da secuencia das potencias n-ésimas:

Unha expresión explícita para os polinomios eulerianos é

onde son os números de Stirling do segundo tipo.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos Número de Bernoulli. Ligazóns externas Eulerian Polynomials at OEIS Wiki.

Euler-matrix (generalized rowindexes, divergent summation)

Categoría:Teoría de números