En matemáticas, el calificador punto a punto, punto por punto o puntualmente, se utiliza para indicar que una determinada propiedad se define considerando cada valor de alguna función Una clase importante de conceptos puntuales son las operaciones puntuales, es decir, operaciones definidas sobre funciones aplicando las operaciones a valores de una función por separado para cada punto en su dominio de definición. Importantes relaciones también se pueden definir puntualmente.
Operaciones puntuales
Definición formal Una operación binaria en un conjunto se puede elevar puntualmente a una operación en el conjunto de todas las funciones desde a de la siguiente manera: dadas dos funciones y , se define la función como
para todo .
Comúnmente, o y O se indican con el mismo símbolo. Se utiliza una definición similar para operaciones unarias o y para operaciones de otras aridades.
Ejemplos La suma puntual de dos funciones y con el mismo dominio y codominio se define por:
El producto puntual o multiplicación puntual es:
El producto puntual con un escalar generalmente se escribe con el término escalar primero. Por tanto, cuando es un escalar, entonces:
Un ejemplo de una operación en funciones que "no" es puntual es la convolución.
Propiedades Las operaciones puntuales heredan propiedades como asociatividad, conmutatividad y distributividad de operaciones correspondientes en el codominio. Si es alguna estructura algebraica, el conjunto de todas las funciones al conjunto portador de se puede convertir en una estructura algebraica del mismo tipo de forma análoga.
Operaciones por componentes Las operaciones por componentes generalmente se definen en vectores, donde los vectores son elementos del conjunto para algún número natural y algún cuerpo . Si se denota el -ésimo componente de cualquier vector como , entonces la suma por componentes es .
Las operaciones por componentes se pueden definir en matrices. La suma de matrices, donde es una operación por componentes, mientras que multiplicación de matrices no lo es.
Un tupla puede considerarse como una función y un vector es una tupla. Por lo tanto, cualquier vector corresponde a la función tal que , y cualquier operación por componentes sobre vectores es la operación puntual sobre funciones correspondientes a esos vectores.
Relaciones puntuales En teoría del orden es común definir un orden parcial puntual en funciones. Con A, B conjuntos parcialmente ordenados, el conjunto de funciones A → B se puede ordenar definiendo f = g si . Los órdenes puntuales también heredan algunas propiedades de los conjuntos parcialmente ordenados subyacentes. Por ejemplo, si A y B son retículos continuos, entonces también lo es el conjunto de funciones A → B con orden puntual.Gierz et al., p. xxxiii Usando el orden puntual en funciones se pueden definir de manera concisa otras nociones importantes, por ejemplo:Gierz, et al., p. 26
Un operador de cierre c en un conjunto parcialmente ordenado P es un automapa monótono e idempotente en P (es decir, un operador de proyección) con la propiedad adicional de que idA = c, donde id es la función identidad. De manera similar, un operador de proyección k se denomina operador de núcleo si y solo si k = idA.
Un ejemplo de una relación puntual infinitaria es la convergencia puntual de funciones: una sucesión de funciones
con
converge puntualmente a una función si para cada en
Referencias
Bibliografía Para ejemplos de teoría del orden: T. S. Blyth, Celosías y estructuras algebraicas ordenadas, Springer, 2005, (081). G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, Dana Scott: Enrejados y dominios continuos, Cambridge University Press, 2003.
Categoría:Terminología matemática