En matemáticas, la envolvente inferior o mínimo puntual de un conjunto finito de funciones es el mínimo punto a punto de las funciones, es decir, la función cuyo valor en cada punto es el mínimo de los valores de las funciones del conjunto dado. El concepto de envolvente inferior también puede extenderse a las funciones parciales tomando el mínimo solo entre las funciones que tienen valores en el punto. La envolvente superior o máximo puntual se define simétricamente. Para un conjunto infinito de funciones, las mismas nociones pueden definirse usando ínfimo en lugar del mínimo y supremo en lugar del máximo.
Para funciones continuas de una clase dada, la envolvente inferior o superior es una función definida a trozos cuyos componentes pertenecen a la misma clase. Para funciones de una sola variable real cuyas gráficas tienen un número limitado de puntos de intersección, la complejidad de la envolvente inferior o superior puede acotarse mediante sucesiones de Davenport-Schinzel, y estas envolventes pueden calcularse eficientemente mediante un algoritmo divide y vencerás que calcula y luego combina las envolventes de subconjuntos de las funciones.
Para funciones convexas o cuasiconvexas, la envolvente superior es nuevamente convexa o cuasiconvexa. La envolvente inferior no lo es, pero puede reemplazarse por la envolvente convexa inferior para obtener una operación análoga a la envolvente inferior que mantiene la convexidad. Las envolventes superior e inferior de las funciones lipschitzianas conservan la propiedad de ser lipschitzianas. Sin embargo, las operaciones de envolvente inferior y superior no necesariamente conservan la propiedad de ser continuas.
Referencias
Categoría:Análisis funcional