La masa electromagnética de un sistema designa la contribución de las interacciones electromagnéticas a su inercia. Se trata de un concepto clásico que fue introducido por primera vez en 1881 por Joseph J. ThomsonJoseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881.Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Parte 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass La masa electromagnética constituye, al igual que la inductancia o la fuerza de Abraham-Lorentz, un fenómeno de auto-interacción, en la medida en que un cuerpo cargado interactúa con su propio campo electromagnético. Se expresa en kilogramos (kg) en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Origen físico Antes del siglo XIX, se pensaba que la masa de un cuerpo (es decir, su resistencia a la aceleración) estaba únicamente relacionada con la cantidad de materia que contenía. Sin embargo, las leyes del electromagnetismo clásico muestran que dos cuerpos que contienen la misma cantidad de materia pueden presentar masas diferentes. Demostración Para ilustrar esto, podemos considerar un sistema constituido por dos cargas eléctricas puntuales q1 y q2 separadas por una distancia r.
Cuando este sistema está en reposo, las fuerzas eléctricas mutuas entre las dos cargas son iguales y opuestas (ley de Coulomb), lo que implica que la resultante de estas fuerzas es nula. Si, a continuación, se impone al conjunto del sistema una aceleración dirigida hacia la derecha (manteniendo constante la distancia r entre las dos cargas), ya no ocurre lo mismo:David J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983) en efecto, el campo eléctrico producido por cada carga no se propaga en el espacio de manera instantánea, sino a la velocidad de la luz (c = 299 792 458 m/s), por lo que la fuerza que sufre cada carga ya no depende de la posición actual de la otra carga, sino de su posición retardada (t' = t - r/c). Por ello, la fuerza ejercida por q2 sobre q1 se vuelve ligeramente más fuerte que la fuerza ejercida por q1 sobre q2. Este desequilibrio conduce a la aparición de una fuerza total Fauto que actúa sobre el conjunto del sistema. Esta fuerza está dirigida hacia la izquierda y tiende por tanto a oponerse a la aceleración.
Para calcular Fauto, debemos calcular la fuerza eléctrica ejercida por cada carga sobre la otra, teniendo en cuenta los efectos de retardo en la propagación del campo eléctrico. Para ello podemos utilizar la relación F = q E y calcular el campo eléctrico E creado por cada carga usando el modelo de Darwin, que permite aproximar la expresión de los campos hasta el orden 1/c² en régimen cuasi-estacionario.Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Sweden, 2006 La expresión general del campo E es:
en la que todas las magnitudes expresadas son instantáneas (es decir, consideradas en el instante presente t). El primer término de esta ecuación representa el campo culombiano, y el segundo es un término correctivo, provocado por la aceleración de las cargas, que tiene en cuenta precisamente los efectos de retardo. Como se ha mencionado anteriormente, el primer término, aunque mucho mayor en amplitud que el segundo, conduce a fuerzas iguales y opuestas. En cambio, el término ligado a la aceleración puede producir fuerzas que no son iguales y opuestas. Al calcular la fuerza total Fauto que actúa sobre el sistema, se obtiene:
La fuerza total obtenida es proporcional a y aumenta la resistencia del sistema a la aceleración. Por ello, puede considerarse que aumenta la masa del sistema, siendo la variación de masa Δm dada (utilizando la segunda ley de Newton) por:
Denominando esta variación de masa la "masa electromagnética de interacción" de las dos cargas, se obtiene:
Nótese que si las cargas q1 y q2 son del mismo signo, la masa electromagnética obtenida es positiva (se habla entonces de exceso de masa), mientras que si las cargas q1 y q2 son de signos opuestos, la masa electromagnética es negativa (se habla entonces de defecto de masa).
Denotando respectivamente por m1 la masa de la carga q1, por m2 la masa de la carga q2, y por Mtot la masa total del sistema {q1+q2}, se obtiene finalmente:
Conclusión: Las leyes del electromagnetismo clásico muestran que las interacciones a distancia entre partículas cargadas pueden incidir en la masa global de un sistema, lo que implica que la inercia de un cuerpo no depende únicamente de la cantidad de materia que contiene. La aparición de una masa de interacción es causada por la finitud de la velocidad a la que se propagan los campos en el espacio (c). Así, un condensador cargado será por ejemplo más masivo que el mismo condensador sin carga, aunque ambos estén constituidos por el mismo número exacto de partículas y no haya habido intercambio de materia con el exterior.
A finales del siglo XIXe, algunos físicos llegaron incluso a proponer la idea de que la masa «mecánica» no existía y que el 100 % de la masa de los cuerpos era en realidad de origen electromagnético. Sin embargo, una hipótesis de este tipo implica, por ejemplo, tener que considerar al electrón y a las demás partículas elementales como una distribución esférica de carga, algo que es imposible aceptar sin un conocimiento detallado de la estructura interna de estas partículas Además, hoy se sabe que otras interacciones de la naturaleza, como la gravitación y la interacción nuclear fuerte, también pueden influir en la masa de los cuerpos (los defectos de masa nucleares son un ejemplo de ello).
Configuración transversal
Considerando ahora la situación en la que la aceleración del sistema de dos cargas puntuales es ortogonal al eje del par de cargas (θ = 90°), se obtiene para la fuerza de auto-interacciónTimothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978):
lo que implica:
La masa de interacción obtenida es dos veces menor que en el caso longitudinal.
Orientación arbitraria Si el eje del par de cargas forma un ángulo θ cualquiera con el vector aceleración , la masa electromagnética de interacción de las dos cargas es:
donde el factor (1 + cos² θ) puede variar entre 1 y 2. Aparición de una fuerza ortogonal a la aceleración
Cuando θ no es igual ni a 0° ni a 90°, también aparece una fuerza de autointeracción perpendicular a la aceleración (), además de la fuerza colineal con la aceleración:
Sin embargo, solo puede considerarse como una contribución a la inercia del sistema. Recordemos que:
alcanza su valor máximo cuando θ = 45°. Esto puede comprobarse utilizando la identidad trigonométrica:
sin(2θ) alcanza su valor máximo para θ = 45°.
Ejemplos Defecto de masa del átomo de hidrógeno
Un átomo de hidrógeno está constituido por dos partículas de cargas eléctricas opuestas (un protón y un electrón) en interacción. Las masas respectivas de un protón y un electrón aislados son:
Si se calcula la suma de estas dos masas, se obtiene:
Sin embargo, la masa real (experimental) de un átomo de hidrógeno es:
Se obtiene:
La diferencia entre las dos masas (el defecto de masa) es:
Este defecto de masa es precisamente la masa electromagnética de interacción (en este caso negativa) entre el protón y el electrón. Es aproximadamente 100 millones de veces menor que la masa total del átomo de hidrógeno.
Masa electromagnética de una esfera cargada
Consideremos una esfera de radio R. Esfera uniformemente cargada en volumen Si la esfera porta una densidad volumétrica de carga uniforme ρ en todo su volumen, podemos calcular su masa electromagnética integrando las fuerzas de interacción mutuas entre todos los pares infinitesimales de cargas. La masa electromagnética de dicha esfera cargada es:
También puede expresarse el mismo resultado en función de la carga total Q portada por la esfera:
Esfera uniformemente cargada en superficie Consideremos ahora que la esfera está cargada en superficie, con una densidad superficial de carga σ uniforme. Se obtiene entonces:
o bien,
Relación con otras magnitudes físicas
Relación entre masa electromagnética e impulso del campo Además del uso de la relación m=F/a, existe un segundo método para calcular la masa electromagnética de un sistema: consiste en calcular el impulso del campo electromagnético para una velocidad arbitraria, y luego usar m=p/v. El impulso del campo electromagnético viene dado por:David J. Griffiths, Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum, Am. J. Phys. 80, 7–18 (2012)
Para dos cuerpos 1 y 2 en interacción, se tiene: y lo que implica:
Entre los cuatro términos obtenidos, los dos primeros corresponden a las masas electromagnéticas individuales de los cuerpos 1 y 2. Si se desea calcular únicamente la masa electromagnética de interacción entre 1 y 2, solo deben tomarse en consideración los dos últimos términos.
Este método de cálculo de la masa electromagnética permite obtener exactamente los mismos resultados que con el método m=F/a en todas las situaciones (ambos métodos se derivan de las ecuaciones de Maxwell y de la fuerza de Lorentz).
Relación con la energía magnética Un tercer método consiste en calcular, para una velocidad dada, la energía Um almacenada en el campo magnético del sistema, y luego utilizar m = 2Um /v². En efecto, un cuerpo cargado en movimiento acumula y almacena energía (en forma magnética) de la misma manera que un cuerpo masivo en movimiento acumula energía cinética (la masa está relacionada con la energía cinética mediante la relación m = 2Ec /v²). La energía magnética Um acumulada por un cuerpo cargado en movimiento es, según el teorema de Poynting:
Dado que el campo magnético B generado por el cuerpo es, según la ley de Biot-Savart, proporcional a su velocidad, el cuadrado del campo magnético es por tanto proporcional al cuadrado de la velocidad, lo que permite hacer aparecer una cantidad homogénea a una masa (m = 2Um/v²). Para dos cuerpos ligados 1 y 2 en interacción, se tiene:
lo que implica:
De los tres términos obtenidos, los dos primeros corresponden a las masas electromagnéticas individuales de los cuerpos 1 y 2. Si se desea calcular únicamente la masa electromagnética de interacción entre 1 y 2, solo debe tenerse en cuenta el último término. En este caso, se obtiene:
Relación con la energía potencial electrostática y E=mc² La energía potencial de interacción electrostática entre dos cargas puntuales q1 y q2 es:
A partir de los resultados anteriores sobre la masa electromagnética de interacción, esto implica que para un sistema de dos cargas orientadas según un eje colineal al vector aceleración (θ = 0°), se tiene:
Si el eje sobre el que se encuentran las cargas es ortogonal al vector aceleración (θ = 90°), se tiene:
Por consiguiente, el caso transversal está en acuerdo con la relación general de Albert Einstein que vincula la masa y la energía (E=mc²), mientras que el caso longitudinal diverge en un factor 2 respecto a esta predicción. Resulta así que la relación m = E/c² arroja resultados para la masa electromagnética que a veces divergen de los de los otros tres métodos de cálculo (m = F/a, m = p/v y m = 2Um /v²).
El problema 4/3 Si se considera una distribución de carga esférica (ya sea que la carga esté distribuida en la superficie de la esfera o en su volumen), siempre se obtiene:Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 28: "Electromagnetic Mass".
Esta discrepancia entre los resultados de los dos cálculos (E=mc² y la teoría electromagnética) ha dado lugar a numerosos debates desde principios del siglo XX. Es lo que se conoce como la paradoja 4/3. Las tensiones de Poincaré