La teoría de categorías es un estudio matemático que trata de axiomatizar de forma abstracta diversas estructuras matemáticas como una sola, mediante el uso de objetos y morfismos. Al mismo tiempo, trata de mostrar una nueva forma de ver las matemáticas sin incluir las nociones de elementos, pertenencia, entre otras.

Historia La teoría de categorías fue introducida en topología algebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, como un paso crucial para la transición desde homología a teoría de la homología. Stanislaw Ulam afirma que existían ideas parecidas en la escuela polaca de los años 1930.Introducción al álgebra abstracta". Juan Francisco Escamilla Castillo , pp. 329.

Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsados por las necesidades computacionales del álgebra homológica y más tarde por las necesidades axiomáticas de la geometría algebraica.Introducción al álgebra abstracta". La teoría general -cierta actualización del álgebra universal con muchas características nuevas que daban pie a una cierta flexibilidad en semántica y lógicas de orden superior- vino más tarde.

Estas aplicaciones de categorías en el campo de los fundamentos están siendo trabajadas en bastante detalle y no solamente en matemáticas. Existen matemáticos como William Lawvere que trabajan en la física, existen físicos trabajando en n-categorías, John Baez. La Lógica Categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para la Lógica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, todas enmarcadas en una categoría cartesianamente cerrada como descripciones no sintácticas del cálculo lambda. El uso del lenguaje de la teoría de las categorías le permite a uno aclarar qué tienen exactamente en común todas estas áreas.

Relación filosófica Se elige el término categoría de Aristóteles pero en el sentido de Kant con la intención de asociarlo a una forma pura pero en el contexto exclusivamente matemático, es decir, sin efectos fuera de las matemáticas.

Funtores Con el concepto de categoría se pretende capturar -poniendo el énfasis en el concepto de relación (de aplicación), más que de elemento y pertenencia- la esencia de una clase de objetos matemáticos, que se relacionan mediante aplicaciones, los morfismos en la categoría en cuestión. Por ejemplo, la clase de los grupos: en vez de estudiar los objetos individuales (cada grupo) como se vino haciendo, se enfatizan dichos morfismos entre ellos, que no son otra cosa que las aplicaciones que "conservan su estructura". En el ejemplo de los grupos, dichos morfismos son los homomorfismos de grupos. Entonces, una vez que tenemos nuestro "universo categorial" definido -esto es, una categoría- es posible relacionarla con otras categorías mediante funtores, que son cierta generalización del concepto de función para categorías: un funtor asocia a cada objeto de una categoría un objeto de la otra, y a cada aplicación de la primera una aplicación de la segunda. De cierto modo nos lleva de una imagen de la categoría hacia la otra categoría, con ciertos grados de "afinamiento". Ciertas "construcciones naturales", como el grupo fundamental de un espacio topológico, pueden ser expresadas como funtores. Además, dichos funtores están muy a menudo naturalmente relacionados y esto lleva al concepto de transformación natural.

Categorías especiales, como los topos, están sirviendo también como alternativa "generalizadora" y conceptualmente más rica de la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas.

Aproximación de la teoría de clases Para eliminar los problemas surgidos de las paradojas como la de Russell se planteó el siguiente parche a la Teoría de conjuntos: Llamaremos "clase" a una agrupación de objetos. Llamaremos "conjunto" a las clases capaces de ser, ellas mismas, objetos de otras clases. Llamaremos "clase propia" a las clases incapaces de ser objetos de otra clase.

Definición de categoría

es una categoría si consta de lo siguiente:

1) Una clase , llamada clase de objetos de . 2) Para todo par de objetos , un conjunto denotado por o (los subíndices pueden omitirse cuando está claro cuál es la categoría a la que se refieren). Los elementos de este conjunto se denominan morfismos de a . Un morfismo de a se escribe también como o también . 3) Una operación binaria, denominada composición de morfismos y denotada por . Dados tres objetos , y de , la composición define una aplicación . La composición de un morfismo con un morfismo se denota o simplemente . La operación composición satisface las siguientes propiedades: a) Asociativa: si , y son morfismos entre objetos , , y de , entonces . b) Existencia de identidad: para todo objeto de , existe un morfismo de a sí mismo (es decir, un elemento de ), denotado por o también , y denominado morfismo identidad, y tal que, para morfismos cualesquiera y , se tiene que y que .

Nota Si las clases de objetos son solamente conjuntos, se dice que la categoría es "pequeña" (small category). Existen importantes categorías que no lo son.

Definición de subcategoría Dadas dos categorías y , diremos que es una subcategoría de si:

i) es subclase de ii) iii)

iv) .

nota Se dice que la subcategoría es llena si

Ejemplos básicos La categoría Con o Set, cuyos objetos son los conjuntos y cuyos morfismos son las aplicaciones entre estos. La categoría Top, cuyos objetos son los espacios topológicos y cuyos morfismos son las aplicaciones continuas entre estos. La categoría Grp, cuyos objetos son los grupos y cuyos morfismos son los homomorfismos entre estos. La categoría Gab o Ab, cuyos objetos son los grupos abelianos y cuyos morfismos son los homomorfismos entre estos. Es subcategoría llena de Grp. La categoría VecK, cuyos objetos son los espacios vectoriales sobre un cuerpo K y cuyos morfismos son las aplicaciones lineales entre estos. La categoría An, cuyos objetos son los anillos y cuyos morfismos son las aplicaciones entre estos. La categoría Anc, cuyos objetos son los anillos conmutativos y cuyos morfismos son las aplicaciones entre estos. Es subcategoría llena de An. Dado un conjunto parcialmente ordenado, , existe una categoría definida del siguiente modo: sus objetos son los elementos de , y entre dos objetos e existe un único morfismo si , y ninguno en caso contrario:

Dada una categoría , existe una categoría llamada dual o opuesta, denotada por o , cuyos objetos son los mismos que los de y, Dadas dos categorías y , existe la categoría producto , cuyos objetos vienen dados por y con morfismos . La categoría ModR de todos los módulos por la derecha sobre el anillo R con unidad, junto con sus homomorfismos de módulos. Análogamente, la categoría de los módulos por la izquierda. La categoría Met de todos los espacios métricos junto a las funciones cortas. La categoría Uni de todos los espacios uniformes junto a los unimorfismos. La categoría Ord de todos los conjuntos preordenados junto a las funciones crecientes. Una categoría monoidal es una categoría con una operación asociativa y un único elemento neutral con ésta operación. Los ejemplos prototípicos son la categoría de conjuntos con la operación: unión disjunta y el conjunto vacío como elemento neutro, y la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo con el producto tensorial de espacios vectoriales y el mismo cuerpo como el único elemento neutral. Un grafo se puede considerar como una categoría pequeña: los objetos serían los vértices del grafo y los morfismos los caminos en el grafo. La composición de morfismos es la concatenación de caminos. Si I es un conjunto, la categoría: categoría discreta sobre I es la categoría pequeña que tiene como objetos a los elementos de I y como morfismos únicamente a los morfismos identidad (que hay en toda categoría, como recordaréis). La categoría Mag de todos los magmas junto con sus homomorfismos. La categoría Med de todos los magmas mediales junto con sus homomorfismos. La cat Mon, de los monoides y sus monoide-morfismos. Usadas en TQFT, álgebras de Frobenius, cobordismo.

Definiciones para tipos de morfismos Dada una categoría y objetos , diremos que un morfismo es: monomorfismo si y tales que siempre sucede que o implica que . epimorfismo si y tales que siempre sucede que o implica que . isomorfismo si y . endomorfismo si automorfismo si es un isomorfismo y

Proposición Dada una categoría , objetos y se cumplen:

y tal que es un monomorfismo, implica que es un monomorfismo.

y tal que es un epimorfismo, implica que es un epimorfismo.

isomorfismo, implica que es monomorfismo y epimorfismo.

Nota Existen morfismos que son monomorfismos y epimorfismos que no son isomorfismos.

Definiciones para tipos de objetos

Dada una categoría , diremos que un objeto es:

inicial si

final, si

nulo, si es inicial y final a la vez.

Ejemplos

En la categoría Con, el Conjunto vacío es un objeto inicial, y todo conjunto formado con un único elemento es un objeto final en la categoría de conjuntos.

Proposición

Dada una categoría , entre sus objetos iniciales/finales hay un único isomorfismo.

Definición de funtor

Dadas dos categorías y , diremos que es:

funtor covariante si:

1),, tenemos que .

2),, tenemos que tal que:

a),, tenemos que .

b), ,

.

funtor contravariante si:

1),, tenemos que .

2),, tenemos que tal que:

a),, tenemos que .

b), ,

. Nota Dadas tres categorías , y dos funtores covariantes y , la composición es el funtor covariante tal que:

,

, .

Ejemplos

Dada una categoría , diremos que es el funtor identidad a si deja todo igual, claramente es un funtor covariante recurriendo a la definición.

Dadas una categoría y una subcategoría de , diremos que es funtor inclusión si deja todo igual, claramente es funtor covariante recurriendo a la definición.

Definiciones para tipos de funtores

Dadas dos categorías y , diremos que un funtor covariante es:

pleno si, es exhaustivo.

fiel si, es inyectivo.

plenamente fiel si, es biyectivo.

denso si, es isomorfo a .

Dado un funtor covariante , diremos que es un isomorfismo de categorías, si y .

Definición de transformación natural

Dadas dos categorías , , y dos funtores covariantes y , hay una transformación natural entre y si tiene:

, , un morfismo

, , es decir, el siguiente diagrama es conmutativo:

Diremos que un morfismo es una equivalencia si es un isomorfismo.

Diremos que un funtor es una equivalencia si existe un funtor tal que y , donde diremos que las dos categorías son equivalentes.

Ejemplos

Espacio vectorial dual: un ejemplo de un funtor contravariante desde la categoría de todos los espacios vectoriales reales a la categoría de todos los espacios vectoriales reales está dado por la asignación a cada objeto (cada espacio vectorial real) un objeto llamado espacio dual y a cada morfismo (esto es, a cada aplicación lineal), su dual o traspuesta.

Álgebra de las funciones continuas: un funtor contravariante desde la categoría de los espacios topológicos (cuyos morfismos son las aplicaciones continuas) a la categoría de las álgebras asociativas reales, es dado asignando a cada espacio topológicoX el álgebra C(X) de todas las funciones reales continuas sobre tal espacio. Cada aplicación continua f : X → Y (morfismo en la categoría de espacios topológicos) induce un homomorfismo de álgebras C(f) : C(Y) → C(X) mediante la regla C(f)(φ) = φ o f para todo φ en C(Y).

Homomorfismo de grupos: a cada par A, B de grupos abelianos se puede asignar el grupo abeliano Hom(A,B) que consiste en todos homomorfismos de grupos desde A a B. Esto es un funtor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, esto es, es un funtor Abop x Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de los grupos abelianos con los homomorfismos de grupos). Si f : A1 → A2 and g : B1 → B2 son morfismos en Ab, entonces se tiene este homomorfismo Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2) dado por φ |→ g o φ o f.