thumb|Wigner (à esquerda) em 1958, recebendo o Prêmio Enrico Fermi das mãos de John McCone. "A Eficácia Irracional da Matemática nas Ciências Naturais" (no original em inglês: "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences") foi o título da Palestra Richard Courant em Ciências Matemáticas de 1959, proferida na Universidade de Nova Iorque pelo físico Eugene Wigner, e publicada na revista Communications on Pure and Applied Mathematics em 1960. Nela, Wigner observa que conceitos matemáticos puros desenvolvidos e estudados independentemente da física — muitas vezes para que os matemáticos demonstrem sua "engenhosidade e senso de beleza formal" — frequentemente encontram aplicações práticas na física. A estrutura matemática da física teórica muitas vezes aponta o caminho para avanços adicionais nessas teorias e possui poder preditivo empírico na descrição da natureza. Albert Einstein e o filósofo Alfred North Whitehead já haviam considerado o sucesso da matemática abstrata na ciência física um mistério que exigia explicação, mas a conferência de Wigner tornou-se a formulação clássica do problema.
Observações e argumentos Wigner argumenta que os conceitos matemáticos possuem aplicabilidade muito além do contexto no qual foram originalmente desenvolvidos. Ele escreve: "É importante ressaltar que a formulação matemática da experiência, muitas vezes rudimentar, do físico conduz, em um número impressionante de casos, a uma descrição surpreendentemente precisa de uma vasta classe de fenômenos." Ele acrescenta que a observação de que "as leis da natureza estão escritas na linguagem da matemática", formulada com propriedade por Galileu Galilei há trezentos anos, "é agora mais verdadeira do que nunca."
O primeiro exemplo apresentado por Wigner é a lei da gravitação universal formulada por Isaac Newton. Usada originalmente para modelar corpos em queda livre na superfície da Terra, essa lei foi estendida com base no que Wigner chama de "observações bastante escassas" para descrever o movimento dos planetas, onde "provou ser precisa além de todas as expectativas razoáveis." Wigner afirma que "Newton... notou que a parábola da trajetória de uma pedra lançada na Terra e o círculo da órbita da Lua no céu são casos particulares do mesmo objeto matemático, a elipse, e postulou a lei da gravitação universal com base em uma única coincidência numérica, que na época era bastante aproximada."
O segundo exemplo de Wigner provém da mecânica quântica: Max Born "percebeu que algumas regras de cálculo, fornecidas por Heisenberg, eram formalmente idênticas às regras de cálculo matricial, estabelecidas muito tempo antes pelos matemáticos. Born, Jordan e Heisenberg propuseram então substituir as variáveis de posição e momento das equações da mecânica clássica por matrizes. Aplicaram as regras da mecânica matricial a alguns problemas altamente idealizados e os resultados foram plenamente satisfatórios. No entanto, não havia, naquele momento, nenhuma evidência racional de que a mecânica matricial se mostraria correta em condições mais realistas." Contudo, Wolfgang Pauli descobriu que o trabalho deles descrevia com precisão o átomo de hidrogênio: "Esta aplicação forneceu resultados em perfeito acordo com a experiência." O átomo de hélio, com dois elétrons, é mais complexo, mas "ainda assim, o cálculo do nível de energia fundamental do hélio, realizado há poucos meses por Kinoshita em Cornell e por Bazley no National Bureau of Standards, concorda com os dados experimentais dentro da precisão das observações, que é de uma parte em dez milhões. Certamente, neste caso, 'extraímos algo' das equações que não havíamos colocado nelas." O mesmo se aplica aos espectros atômicos de elementos mais pesados.
O último exemplo citado por Wigner vem da eletrodinâmica quântica: "Enquanto a teoria da gravitação de Newton ainda guardava conexões óbvias com a experiência, na formulação da mecânica matricial a experiência só entrou na forma refinada ou sublimada das prescrições de Heisenberg. A teoria quântica do desvio de Lamb, concebida por Bethe e estabelecida por Schwinger, é uma teoria puramente matemática, e a única contribuição direta do experimento foi demonstrar a existência de um efeito mensurável. A concordância com o cálculo é superior a uma parte por mil."
Outros exemplos Existem exemplos além dos mencionados por Wigner. Outro caso frequentemente citado são as equações de Maxwell, derivadas para modelar fenômenos elétricos e magnéticos elementares conhecidos em meados do século XIX. As equações também descrevem ondas de rádio, descobertas por David Edward Hughes em 1879, por volta da época da morte de James Clerk Maxwell. Da mesma forma, deve-se lembrar a relatividade geral de Einstein, que não teria sido possível sem o desenvolvimento do cálculo tensorial por uma série de matemáticos fundamentais, como Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci-Curbastro, Tullio Levi-Civita e outros.
Respostas e desdobramentos As respostas e repercussões à tese incluem: Richard Hamming na ciência da computação: "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics". Arthur Lesk na biologia molecular: "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in Molecular Biology". Peter Norvig na inteligência artificial: "The Unreasonable Effectiveness of Data". Max Tegmark na física: "The Mathematical Universe". Ivor Grattan-Guinness na história da matemática: "Solving Wigner's mystery: The reasonable (though perhaps limited) effectiveness of mathematics in the natural sciences". Vela Velupillai na economia: "The Unreasonable Ineffectiveness of Mathematics in Economics". Terrence Joseph Sejnowski no aprendizado profundo: "The Unreasonable Effectiveness of Deep Learning in Artificial Intelligence".
Richard Hamming O matemático e laureado com o Prêmio Turing Richard Hamming refletiu e expandiu a tese de Wigner em 1980, discutindo quatro "explicações parciais" para o fenômeno, concluindo que todas eram insatisfatórias:
1. Os seres humanos veem aquilo que procuram. A crença de que a ciência é puramente experimental é apenas parcialmente verdadeira. Hamming apresenta quatro exemplos de fenômenos físicos não triviais que ele argumenta terem surgido das ferramentas matemáticas empregadas, e não de propriedades intrínsecas da realidade física: Hamming propõe que Galileu descobriu a lei dos corpos em queda não por meio de experimentos, mas por raciocínio simples e cuidadoso. Hamming imagina Galileu realizando o seguinte experimento mental (descrito na obra De Motu de Galileu):
Não há como um corpo em queda "responder" a tais indagações hipotéticas. Logo, Galileu teria concluído que "os corpos em queda não precisam saber nada se todos caírem com a mesma velocidade, a menos que sofram interferência de outra força." Hamming encontrou posteriormente uma discussão semelhante em Pólya (1963: 83-85).
A lei do inverso do quadrado da distância na gravitação universal decorre necessariamente da conservação da energia e do fato de o espaço possuir três dimensões. Medir o expoente na lei da gravitação é mais um teste para verificar se o espaço é euclidiano do que uma verificação das propriedades intrínsecas do campo gravitacional. A desigualdade no cerne do princípio da incerteza da mecânica quântica decorre das propriedades das integrais de Fourier e da suposição de invariância temporal. Hamming argumenta que o trabalho pioneiro de Albert Einstein na relatividade restrita foi amplamente dedutivo em sua abordagem. Einstein sabia desde o início como a teoria deveria se estruturar e explorou teorias candidatas com ferramentas matemáticas, não com experimentos diretos. Hamming sustenta que Einstein confiava tanto na exatidão de suas teorias relativísticas que os resultados de observações experimentais pouco o preocupavam: se as observações fossem inconsistentes com suas teorias, seriam as observações que estariam erradas.
2. Os seres humanos criam e selecionam a matemática que se ajusta a uma situação. A matemática existente nem sempre funciona de imediato. Por exemplo, quando grandezas escalares mostraram-se insuficientes para descrever forças, inventaram-se primeiro os vetores e, posteriormente, os tensores.
3. A matemática abrange apenas uma fração da experiência humana. Grande parte da experiência humana não pertence ao domínio da ciência ou da matemática, mas à filosofia dos valores, englobando a ética, a estética e a filosofia política. Afirmar que o mundo inteiro pode ser explicado pela matemática constitui um ato de fé.
4. A evolução preparou os seres humanos para o raciocínio matemático. As formas de vida primordiais continham os elementos iniciais da capacidade humana de construir e acompanhar longas cadeias de raciocínio dedutivo rigoroso.
Max Tegmark O físico Max Tegmark argumentou que a eficácia da matemática em descrever a realidade física externa decorre do fato de que o próprio mundo físico é uma estrutura matemática abstrata. Essa formulação, denominada hipótese do universo matemático, dialoga com ideias previamente propostas por Peter Atkins. No entanto, Tegmark afirma expressamente que "a verdadeira estrutura matemática isomórfica ao nosso mundo, se existir, ainda não foi encontrada." Em vez disso, as teorias matemáticas na física são bem-sucedidas porque aproximam uma matemática mais complexa e preditiva. Conforme Tegmark: "Nossas teorias bem-sucedidas não são a matemática aproximando a física, mas sim matemática simples aproximando matemática mais complexa."
Ivor Grattan-Guinness Ivor Grattan-Guinness considerou a eficácia em questão plenamente razoável e explicável com base em conceitos como analogia, generalização e metáfora. Ele enfatiza que Wigner ignora amplamente "a eficácia das ciências naturais na matemática, visto que grande parte da matemática foi motivada por interpretações nas ciências".
Michael Atiyah O matemático Michael Atiyah inverteu a perspectiva em seu ensaio "The unreasonable effectiveness of physics in mathematics". Ele argumentou que o ferramental conceitual da física permite que pesquisadores como Edward Witten avancem além da matemática convencional, em particular na geometria de 4-variedades. As ferramentas da física citadas incluem a teoria quântica de campos, a relatividade restrita, a teoria de calibre não abeliana, o spin, a quiralidade, a supersimetria e a dualidade eletromagnética.
Versões anteriores do argumento O estudioso alemão Moritz Wilhelm Drobisch admirava o "fundamento matemático" da maioria das ciências, afirmando que ele colocava os estudantes na posição de "admirar a coerência teleológica" e "reconhecer uma sabedoria ordenadora sobre-humana cujos propósitos [...] [eles] compreenderão gradualmente".Drobisch, Philologie 1832, pp. 24f. A esse respeito, ele declarou sobre a astronomia:
Ver também Cosmologia Fundamentos da matemática Mark Steiner Hipótese do universo matemático Filosofia da ciência Quase-empirismo na matemática Relação entre matemática e física Estruturalismo científico Ineficácia irracional da matemática Where Mathematics Comes From
Referências
Bibliografia
Ligações externas Texto integral de "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" (em inglês). The Applicability of Mathematics in Physics na Internet Encyclopedia of Philosophy (em inglês).
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