Os axiomas de Tarski, debidos a Alfred Tarski, son un conxunto de axiomas da parte substancial da xeometría euclidiana, a parte que é formulable en lóxica de primeira orde con identidade (isto é, aquela parte da xeometría euclidiana que é formulable como unha teoría elemental), por tanto sen necesidade ningunha da teoría de conxuntos. Outros modelos de axiomatizacións da xeometría euclidiana son a dos axiomas de Hilbert e a dos axiomas de Birkhoff.
Xeneralidades Nos primeiros tempos da súa carreira Tarski ensinou xeometría e investigou a teoría de conxuntos. O seu compañeiro de traballo Steven Givant (1999) explicou o punto de vista de Tarski:
A través de Enriques, Tarski aprendeu do traballo de Mario Pieri, un xeómetra italiano que foi fortemente influído por Peano. Tarski preferiu o sistema de Pieri [da súa memoria Point and Sphere], onde a estrutura lóxica e a complexidade dos axiomas era máis transparente.
Givant entón di que "co rigor típico" Tarski argallou o seu sistema:
Que hai de diferente na aproximación de Tarski á xeometría? Primeiro de nada, o sistema axiomático era moito máis sinxelo que ningún dos outros sistemas existentes nese tempo. De feito o tamaño de todos os axiomas de Tarski xuntos non é moito máis que só un dos 24 axiomas de Pieri. Era o primeiro sistema da xeometría euclidiana que era o bastante sinxelo como para ser expresado en termos das nocións primitivas unicamente, sen a axuda de nocións definidas. De maior importancia é o feito de que por primeira vez foi feita unha distinción clara entre a xeometría completa e a parte elemental, isto é, a de primeira orde.
Tal e como se fai noutras axiomatizacións modernas da xeometría euclidiana, Tarski emprega un sistema formal que consiste en cadeas de símbolos, chamadas sentenzas, cuxa construción respecta as regras sintácticas formais, e regras de demostración que determinan as manipulacións permitidas das sentenzas. A diferenza dalgunhas outras axiomatizacións modernas como a de Birkhoff e a de Hilbert, a axiomatización de Tarski non ten ningún outro obxecto primitivo máis que os puntos, así que unha variable ou unha constante non pode referirse a unha liña ou un ángulo. A razón de por que os puntos son os únicos obxectos primitivos é porque o sistema de Tarski é unha teoría de primeira orde, polo que nin tan sequera é posible definir as liñas como conxuntos de puntos. As únicas relacións primitivas (predicados) son "estar entre" e "congruencia" entre puntos.
A axiomatización de Tarski é máis curta que as dos seus rivais, nun sentido que Tarski e Givant (1999) fan explícito. É máis conciso que Pieri porque este tiña só dúas nocións primitivas mentres que Tarski presentou tres: punto, "estar entre" e congruencia. Tal economía de nocións primitivas definidas significa que o sistema de Tarski non é moi conveniente para facer xeometría euclidiana. Con todo, Tarski deseñou o seu sistema para facilitar a súa análise por medio das ferramentas da lóxica matemática, por exemplo para facilitar as derivacións das súas propiedades metamatemáticas. O sistema de Tarski ten a propiedade infrecuente de que todas as frases poden ser escritas mediante a forma existencial, un caso especial da forma normal prenexa. Esta forma escríbese con cuantificadores universais que preceden aos cuantificadores existenciais de modo que todas as frases poden ser reescritas da forma Este feito permitiu a Tarski probar que a xeometría euclidiana é decidible: existe un algoritmo que pode determinar a verdade ou falsidade de calquera enunciado. A axiomatización de Tarski tamén é completa. Isto non contradí o primeiro teorema de incompletude de Gödel, porque a teoría de Tarski carece do poder expresivo necesario para interpretar a aritmética de Robinson.
Os axiomas Alfred Tarski traballou na axiomatization das metatemáicas da xeometría euclidiana intermitentemente desde 1926 até a súa morte en 1983, con el mesmo (1959) anunciando o seu interese maduro no asunto. O traballo de Tarski e os seus estudantes na xeometría euclidiana culminou na monografía de Schwabhäuser, Szmielew e Tarski (1983), na que estableceu dez axiomas e o esquema de axioma mostrados abaixo, as metamatemáticas asociadas, e algo do tema. Gupta (1965) fixo contribucións importantes, e Tarski e Givant (1999) trataron a historia.
Relacións fundamentais Estes axiomas son unha versión máis elegante dun conxunto ideado por Tarski na década de 1920 como parte da súa investigación das propiedades metamatemáticas da xeometría plana euclidiana. Este obxectivo necesitou unha reformulación da xeometría como unha teoría de primeira orde. Tarski fíxoo postulando un universo de puntos, con minúsculas denotando as variábeis que varían sobre ese universo. A igualdade é proporcionada pola lóxica subxacente.Tarski e Givant, 1999, page 177
Tarski entón postulou dúas relacións primitivas:
"Situado ente", unha relación triádica. A frase atómica Bxyz denota que y está "entre" x e z, noutras palabras, que y é un punto no segmento de recta xz. (Esta relación é interpretada inclusivamente de modo que Bxyz é trivialmente certo cando x=y ou y=z). "Congruencia" (ou "equidistancia"), unha relación tetrádica. A frase atómica wx ≡ yz pode ser interpretada como wx é congruente con yz, noutras palabras, que a lonxitude do segmento de recta wx é igual á lonxitude do segmento de liña yz.
A relación "estar entre" captura o aspecto afín da xeometría euclidiana; a congruencia, o seu aspecto métrico. A lóxica de fondo inclúe identidade, unha relación binaria. Os axiomas invocan a identidade (ou a súa negación) en cinco ocasións.
Os axiomas agrúpanse polo tipo de relación que invocan, ordenados, primeiro polo número de cuantificadores existenciais, despois polo número de sentenzas atómicas. Os axiomas débense ler como conclusións universais; por iso as variables libres terían que ser tomadas tacitamente como cuantificadores universais.
Axiomas de congruencia Reflexividade da congruencia: Identidade da congruencia: Transitividade da congruencia:
Mentres a relación de congruencia é, formalmente, unha relación entre 4 puntos, tamén pode ser pensada, informalmente, como unha relación binaria entre dous segmentos lineares e . Os axiomas de reflexividade e de transitividade combinados proban:
Esta relación binaria é unha relación de equivalencia É reflexiva: É simétrica: É transitiva: e a orde na que os puntos dun segmento son especificados é irrelevante.
O axioma de transitividade afirma que a congruencia é euclidiana, polo que respecta a primeira das "nocións comúns" de Euclides.
O axioma da identidade da congruencia establece, intuitivamente, que se xy é congruente cun segmento que empeza e finaliza no mesmo punto, entón x e y son o mesmo punto. Isto está estreitamente relacionado coa noción de reflexividade para relacións binarias.
Axiomas de ordenación dereita|miniatura|Axioma de Pasch Identidade na relación "situado entre" . O único punto no segmento de liña é o propio Axioma de Pasch: . As dúas diagonais do cuadrilátero teñen que cortarse nalgún punto. dereita|miniatura|Continuidade: φ e ψ dividen o segmento en dúas metades e o axioma afirma a existencia dun punto b que divide aquelas dúas metades Esquema de axioma de continuidade: Sexan φ(x) e ψ(y) fórmulas de primeira orde que non conteñan ningún caso libre de ningún a ou b. Tampouco haberá ningún caso libre de x en ψ(y) ou de y en φ(x). Entón tense o seguinte esquema de axioma
Sexa r unha semirecta con punto inicial a. Sexan as fórmulas de primeira orde φ e ψ definindo subconxuntos X e Y de r, tales que cada punto en Y está á dereita de cada punto de X (con respecto a un punto a). Entón existe un punto b en r entre X e Y. Isto é esencialmente a construción do corte de Dedekind, levado a cabo nun xeito que evita cuantificación sobre conxuntos.
Dimensión máis baixa . Existen tres puntos non colineares. Sen este axioma, a teoría podería ser modelada pola liña real unidimensional, un único punto, ou mesmo o conxunto baleiro.
Congruencia e a relación "estar entre" dereita|miniatura|Dimensión superior Dimensión superior
Tres puntos equidistantes doutros dous puntos distintos forman unha liña. Sen este axioma, a teoría podería ter un modelo tridimensional ou dunha maior dimensión espacial.
Axioma de Euclides Cada unha das tres variantes deste axioma, todas equivalentes xunto cos restantes axiomas de Tarski ao postulado das paralelas de Euclides, ten unha vantaxe sobre as outras, a variante A non ten cuantificadores existenciais; a variante B ten o menor número de variables e de sentenzas atómicas; e a variante C require unicamente dunha noción primitiva, "estar entre". Esta variante é a habitualmente dada na literatura:
A:
Sexa un segmento de liña que une o punto medio de dous lados dun triángulo dado. Ese segmento de recta será como moito a metade do terceiro lado. Isto é equivalente a que a suma dos ángulos interiores de calquera triángulo sexa igual a dous ángulos rectos.
B:
Dado calquera triángulo, existe unha circunferencia que pasa por todos os seus vértices. dereita|miniatura|Axioma de Euclides: C
C: Dado un ángulo calquera e un punto calquera v no seu interior, existe un segmento de recta que contén a v, cun punto en cada lado do ángulo.
Cada variante ten unha vantaxe sobre as outras: A prescinde de cuantificadores existenciais; B ten menos variábeis e sentenzas atómicas; C require só unha noción primitiva, a de posición intermedia. Esta variante é a habitual dada na literatura.
dereita|miniatura|Cinco segmentos Cinco segmentos
Comézase con dous triángulos, xuz e x'u'z'. Debúxanse os segmentos de recta yu e y'u''', conectando un vértice de cada triángulo a un punto do oposto ao vértice. O resultado son dous triángulos divididos, cada un formado por cinco segmentos. Se catro segmentos dun dos triángulos son congruentes a cada segmento no outro triángulo, entón os quintos segmentos en ambos os dous triángulos teñen que ser congruentes.
Isto é equivalente á regra do lado-ángulo-lado para determinar que dous triángulos son congruentes; se os ángulos uxz e u'x'z' son congruentes (existen triángulos congruentes xuz e x'u'z'), e os dous pares de lados incidentes son congruentes (xu ≡ x'u' e xz ≡ x'z'), entón o par restante de lados é tamén congruente (uz ≡ u'z).
Construción de segmento: . Para calquera punto y, é posible debuxar en calquera dirección (determinado por x) unha liña congruente a calquera segmento ab.
Discusión A partir de dúas relacións primitivas cuxos campos son un universo denso de puntos, Tarski construíu unha xeometría de segmentos de liña. Segundo Tarski e Givant (1999: 192-93), ningún dos axiomas dados arriba é fundamentalmente novo. Os primeiro catro axiomas estabelecen algunhas propiedades elementais das dúas relacións primitivas. Para o caso, a reflexividade e a transitividade da congruencia estabelecen que a congruencia é unha relación de equivalencia sobre segmentos de liña. A Identidade da congruencia e a relación "estar entre" establece o caso trivial cando aquelas relacións son aplicadas a puntos non distintos. O teorema xy≡zz ↔ x=y ↔ Bxyx estende eses axiomas de identidade.
Algunhas das outras propiedades da relación "estar entre" son derivables como teoremas incluíndo:
Reflexividade: Bxxy ; Simetría: Bxyz → Bzyx ; Transitividade: (Bxyw ∧ Byzw) → Bxyz ; Conectividade: (Bxyw ∧ Bxzw) → (Bxyz ∨ Bxzy).
As últimas dúas propiedades ordenan totalmente os puntos formando un segmento de liña.