Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:
que se expresa diciendo que: es congruente con módulo . De donde se define que dos números son congruentes en módulo «» (sí y solo si) : divide exactamente a la diferencia de y
o lo que es lo mismo, dejan el mismo resto en la división por . Además, también se puede afirmar que: se puede escribir como la suma de y un múltiplo de , pues si: » (entonces), , para algún
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia , no tiene solución.
La notación y la relación de terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:
La congruencia para un módulo entonces también transitividad: si y entonces también .
Si es coprimo con y , entonces también es coprimo con .
Si y es un entero entonces también se cumple
Si además es coprimo con , entonces podemos encontrar un entero , tal que
y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que
donde por definición ponemos .
Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo: y podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias y
Véase también
Aritmética modular
Referencias
Enlaces externos
Congruencias. Lecciones de Álgebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas David M.Burton: "Elementary Number Theory" Enrique Arrondo: "Apuntes de Teoría Elemental de Números". En http://www.mat.ucm.es/~arrondo/ten.pdf Eduardo Miguel Pérez Almarales: "Congruencia Aritmética para Olimpiada de Matemática". Más sobre él en https://scholar.google.com.cu/citations?user=2U2wbD0AAAAJ&hl=es María Luisa Pérez Seguí: "Teoría de Numeros: Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas". En https://www.freelibros.me/matematicas/teoria-de-numeros-maria-luisa-perez-segui
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