miniatura|Al Juarismi (), considerado uno de los «padres del álgebra» miniatura|La fórmula cuadrática expresa la solución de la ecuación , donde es distinto de cero, en términos de sus coeficientes y .
El álgebra (del árabe: الجبر al-ŷabr ‘reintegración, recomposición’Federico Corriente (1991): Diccionario Árabe-Español, Ed. Herder, ISBN 84-254-1763-5 y obtención de datos) es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo fue originalmente una generalización y extensión de la aritmética.The 1911 Classic Encyclopedia, Algebra, (en inglés).Diccionario de la Real Academia Española, álgebra. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).
El álgebra elemental difiere de la aritmética en el uso de abstracciones, como el empleo de letras para representar números que son desconocidos o que pueden tomar muchos valores. Por ejemplo, en la letra es una incógnita, pero aplicando el opuesto se puede revelar su valor: . En , las letras y son variables, y la letra es una constante, la velocidad de la luz en el vacío. El álgebra proporciona métodos para escribir fórmulas y resolver ecuaciones que son mucho más claros y fáciles que el antiguo método de escribir todo con palabras.
La palabra álgebra también se utiliza en ciertas formas especializadas. Un tipo especial de objeto matemático en el álgebra abstracta se llama álgebra, y la palabra se usa, por ejemplo, en las frases álgebra lineal y topología algebraica. Etimología La palabra álgebra proviene del árabeالجبر y cálculo de datos del título del libro de principios del cIlm al-jabr wa l-muqābala, La ciencia del restablecimiento y el equilibrio por el matemático y astrónomo persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. En su obra, el término al-jabr se refería a la operación de mover un término de un lado de una ecuación al otro, المقابلة al-muqābala "equilibrar" se refería a añadir términos iguales a ambos lados. Acortada a simplemente algeber o álgebra en latín, la palabra acabó entrando en la lengua inglesa durante el , ya sea desde el español, el italiano o el latín medieval. Originalmente se refería al procedimiento quirúrgico de fijar huesos rotos o dislocados. El significado matemático se registró por primera vez (en inglés) en el .
Introducción A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas» y expresan una regla o un principio general.Aurelio Baldor, Álgebra, pp. 5-6. El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.
miniatura|Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi
La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabar (en árabe dialectal por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ], de donde derivan los términos de las lenguas europeas), que se traduce como 'restauración' o 'reposición, reintegración'. Deriva del tratado escrito alrededor del año por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de la aritmética. Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.C.B. Boyer, 1991, Europe in the Middle Ages, p. 258.
El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre: Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas. Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.
El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.
Historia del álgebra
El álgebra en la Edad Antigua Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que, en la actualidad, suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.
miniatura|Arithmetica; escrito por Diofanto alrededor de 280 de nuestra era
Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron una importante transformación al crear un álgebra de tipo geométrico, en donde los «términos» eran representados mediante los «lados de objetos geométricos», usualmente líneas a las cuales asociaban letras. Los matemáticos helénicos Herón de Alejandría y DiofantoDiophantus, Father of Algebra así como también los matemáticos indios como Brahmagupta, siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, si bien la Arithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo mucho más alto.History of Algebra Por ejemplo, la primera solución aritmética completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) para las ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollarían métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación.
Diofanto (), algunas veces llamado «el padre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.
Influencia árabe
Los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental; resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico, números negativos o el cero, por lo que debe distinguir varios tipos de >jab.
El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.
Edad Moderna Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los matemáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómicas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todo el mundo antiguo.
El descrubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron en la Italia del . También es notable que la noción de determinante fue descubierta por el matemático japonés Kowa Seki en el , seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Entre los siglos y se consolidó la noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de cantidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el . También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemáticos del hicieron avances notables en álgebra.
El álgebra abstracta se desarrolló en el , inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad.The Origins of Abstract Algebra. University of Hawaii Mathematics Department. Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamentación matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones matemáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el absolutamente independientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álgebra de los siglos anteriores). Áreas de matemáticas con la palabra álgebra en su nombre Algunas áreas de las matemáticas que entran en la clasificación de álgebra abstracta tienen la palabra álgebra en su nombre; el álgebra lineal es un ejemplo. Otras no: La teoría de grupos, la teoría de anillos y la teoría de campos son ejemplos. En esta sección, enumeramos algunas áreas de las matemáticas con la palabra "álgebra" en el nombre.
Álgebra elemental, la parte del álgebra que se suele enseñar en los cursos elementales de matemáticas. Álgebra abstracta, en la que se definen e investigan las estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos. Álgebra lineal, en la que se estudian las propiedades específicas de las ecuaciones lineales, los espacios vectoriales y las matrices. Álgebra de Boole, una rama del álgebra que abstrae el cálculo con los valor de verdades falso y verdadero. Álgebra conmutativa, el estudio de los anillos conmutativos. Álgebra computacional, la implementación de métodos algebraicos como algoritmos y programas de ordenador. Álgebra homológica, el estudio de las estructuras algebraicas fundamentales para el estudio de los espacios topológicos. Álgebra universal, en la que se estudian propiedades comunes a todas las estructuras algebraicas. Teoría de números algebraicos, en la que se estudian las propiedades de los números desde un punto de vista algebraico. Geometría algebraica, una rama de la geometría, que en su forma primitiva especifica las curvas y superficies como soluciones de ecuaciones polinómicas. Combinatoria algebraica, en la que se utilizan métodos algebraicos para estudiar cuestiones combinatorias. Álgebra relacional: conjunto de relaciones finitas que son cerradas bajo ciertos operadores.
Muchas estructuras matemáticas se llaman álgebras:
Álgebra sobre un cuerpo o más generalmente álgebra sobre un anillo.Muchas clases de álgebras sobre un campo o sobre un anillo tienen un nombre específico: Álgebra asociativa Álgebra no asociativa Álgebra de Lie Álgebra de Hopf C*-álgebra Álgebra simétrica Álgebra exterior Álgebra tensorial En teoría de la medida, σ-álgebra Álgebra sobre un conjunto En teoría de categorías Álgebra F y co-álgebra F Álgebra T En lógica, Álgebra de relación, un álgebra booleana residuada expandida con una involución llamada conversa.