En matemáticas, una superficie hiperelíptica, o superficie bielíptica, es una superficie minimal cuyo morfismo de Albanese es una superficie elíptica sin fibras singulares. Cualquier superficie de este tipo puede expresarse como el cociente de un producto de dos curvas elípticas mediante un grupo abeliano. Las superficies hiperelípticas constituyen una de las clases de superficies de dimensión de Kodaira 0 en la clasificación de Enriques-Kodaira.
Invariantes La dimensión de Kodaira es 0.
Diamante de Hodge: 111020111
Clasificación Toda superficie hiperelíptica es un cociente (E×F)/G, donde E = C/Λ y F son curvas elípticas, y G es un subgrupo de F (que actúa sobre F mediante traslaciones) que actúa sobre E no solo mediante traslaciones. Existen siete familias de superficies hiperelípticas, tal como se muestra en la siguiente tabla. Orden de KΛGAcción de G sobre E2CualquieraZ/2Ze → −e2CualquieraZ/2Z ⊕ Z/2Ze → −e, e → e+c, −c=c3Z ⊕ ZωZ/3Ze → ωe3Z ⊕ ZωZ/3Z ⊕ Z/3Ze → ωe, e → e+c, ωc=c4Z ⊕ Zi;Z/4Ze → ie4Z ⊕ ZiZ/4Z ⊕ Z/2Ze → ie, e → e+c, ic=c6Z ⊕ ZωZ/6Ze → −ωe Aquí, ω es una raíz cúbica primitiva de 1 e i es una raíz cuarta primitiva de 1.
Superficies cuasihiperelípticas Una superficie cuasihiperelíptica es aquella cuyo divisor canónico es numéricamente equivalente a cero, cuya aplicación de Albanese actúa sobre una curva elíptica y cuyas fibras son racionales con una cúspide. Solo existen en característica 2 o 3. Su segundo número de Betti es 2, el segundo número de Chern se anula y la característica de Euler holomorfa se anula. Fueron clasificadas por , quien halló seis casos en característica 3 (donde 6K = 0) y ocho en característica 2 (donde 6K o 4K se anulan). Toda superficie cuasihiperelíptica es un cociente (E×F)/G, donde E es una curva algebraica con una cúspide, F es una curva elíptica y G es un esquema de subgrupo finito de F (que actúa sobre F mediante traslaciones).
Referencias
Bibliografía - la obra de referencia estándar sobre superficies complejas compactas
Categoría:Superficies complejas Categoría:Superficies algebraicas