En matemáticas, particularmente en geometría algebraica, análisis complejo y teoría de números algebraicos, una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva suave que es también un grupo algebraico; es decir, posee una grupo que puede definirse mediante funciones regulares. Las variedades abelianas se cuentan, al mismo tiempo, entre los objetos más estudiados de la geometría algebraica y constituyen herramientas indispensables para la investigación en otros temas de la propia geometría algebraica y la teoría de números.

Una variedad abeliana puede definirse mediante ecuaciones con coeficientes en cualquier cuerpo, y se dice entonces que la variedad está definida sobre dicho cuerpo. Históricamente, las primeras variedades abelianas estudiadas fueron aquellas definidas sobre el cuerpo de los números complejos. Resulta que tales variedades abelianas son exactamente aquellos toros complejos que pueden embeberse holomórficamente en un espacio proyectivo complejo.

Las variedades abelianas definidas sobre cuerpos de números algebraicos constituyen un caso especial, importante también desde la perspectiva de la teoría de números. Las técnicas localización conducen naturalmente desde las variedades abelianas definidas sobre cuerpos de números a aquellas definidas sobre cuerpos finitos y diversos cuerpos locales. Dado que un cuerpo de números es el cuerpo de fracciones de un dominio de Dedekind, para cualquier ideal primo no nulo del dominio de Dedekind correspondiente existe una aplicación desde dicho dominio hacia el cociente del dominio de Dedekind por el ideal primo, y dicho cociente es un cuerpo finito para todos los ideales primos finitos. Esto induce una aplicación desde el cuerpo de fracciones hacia cualquiera de tales cuerpos finitos. Dada una curva cuya ecuación está definida sobre el cuerpo de números, se puede aplicar esta transformación a los coeficientes para obtener una curva definida sobre un cuerpo finito, donde la elección del cuerpo finito corresponde a los ideales primos finitos del cuerpo de números.

Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados de cero en variedades de Picard) y variedades de Albanese de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad es no singular. Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen dimensión de Kodaira 0.

Historia y motivación

A principios del siglo XIX, la teoría de funciones elípticas logró dar una base para la teoría de las integrales elípticas, y esto dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar para integrales elípticas involucraban la raíz cuadrada de polinomios de tercer grado y polinomios de cuarto grado. Cuando éstos polinomios fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, por ejemplo, de quinto grado, ¿qué pasaría?

En el trabajo de Niels Henrik Abel y Carl Jacobi, se formuló la respuesta: esto involucraría funciones de dos variables complejas, que tienen cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto supuso el primer trabajo sobre una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica de género 2.

Después de Abel y Jacobi, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann, Weierstrass, Frobenius, Poincaré y Picard. El tema era muy popular en la época, contando ya con una amplia literatura.

A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas. Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece ser el primero en utilizar el nombre variedad abeliana. Fue André Weil en la década de 1940 quien dio al tema sus fundamentos modernos en el lenguaje de la geometría algebraica.

Hoy en día, las variedades abelianas constituyen una herramienta importante en la teoría de números, en sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de sistemas hamiltonianos) y en geometría algebraica (especialmente en variedades de Picard y variedades de Albanese).

Teoría analítica

Definición Una toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2g que posee la estructura de una variedad compleja. Siempre puede obtenerse como el cociente de un espacio vectorial complejo de dimensión g mediante un retículo de rango 2g. Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que es también una variedad algebraica proyectiva sobre el cuerpo de los números complejos. Invocando el teorema de embebido de Kodaira y el teorema de Chow, se puede definir equivalentemente una variedad abeliana compleja de dimensión g como un toro complejo de dimensión g que admite un fibrado en rectas positivo. Dado que son toros complejos, las variedades abelianas poseen la estructura de un grupo. Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento neutro correspondiente a la estructura de grupo. Una isogenia es un morfismo finito-a-uno.

Cuando un toro complejo posee la estructura de variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso , la noción de variedad abeliana coincide con la de curva elíptica, y todo toro complejo da lugar a una curva de este tipo. Para , se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.

Condiciones de Riemann El siguiente criterio de Riemann determina si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si puede o no embeberse holomorfamente en un espacio proyectivo. Sea X un toro de dimensión g definido como , donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es un retículo en V. Entonces, X es una variedad abeliana si y solo si existe una forma hermítica positiva definida sobre V cuya parte imaginaria toma valores enteros sobre . Tal forma sobre X se denomina habitualmente forma de Riemann (no degenerada). Al elegir una base para V y para L, es posible expresar esta condición de manera más explícita. Existen varias formulaciones equivalentes de este hecho, y todas ellas se conocen como las condiciones de Riemann.

Jacobiano de una curva algebraica Toda curva algebraica C de genus está asociada a una variedad abeliana J de dimensión g mediante una aplicación analítica de C en J. Como toro, J posee una estructura de grupo conmutativo, y la imagen de C genera J como grupo. Más precisamente, J está recubierta por : J is covered by : cualquier punto de J proviene de una g-tupla de puntos de C. El estudio de las formas diferenciales sobre C —que dan lugar a las integrales abelianas con las que se inició la teoría— puede derivarse de la teoría, más sencilla e invariante por traslación, de los diferenciales sobre J. La variedad abeliana J recibe el nombre de variedad jacobiana de C para cualquier curva no singular C sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría birracional, su cuerpo de funciones es el cuerpo fijo del grupo simétrico sobre cartas g que actúa sobre el cuerpo de funciones de .

Funciones abelianas Una función abeliana es una función meromorfa sobre una variedad abeliana, que por lo tanto puede considerarse como una función periódica de n variables complejas que posee 2n períodos independientes. De manera equivalente, es una función perteneciente al cuerpo de funciones de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX existía un gran interés por las integrales hiperelípticas que podían expresarse en términos de integrales elípticas. Esto equivale a exigir que J sea un producto de curvas elípticas y que salvo que sea una isogenia.

Teoremas importantes Un teorema de estructura importante relativo a las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka. Este establece que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda variedad abeliana es el cociente de la jacobiana de alguna curva, es decir, existe una sobreyección de variedades abelianas donde es una jacobiana. Este teorema sigue siendo válido si el cuerpo base es infinito. Milne, J.S., Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry, eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986

Definición algebraica Se utilizan comúnmente dos definiciones equivalentes de variedad abeliana sobre un cuerpo general k:

Un grupo algebraico completo y conexo sobre k Un grupo algebraico proyectivo y conexo sobre kCuando la base es el cuerpo de los números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. Para cualquier cuerpo base, las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1.

A principios de la década de 1940, Weil utilizó la primera definición (sobre un cuerpo base arbitrario), pero inicialmente no pudo demostrar que esta implicara la segunda. No fue hasta 1948 cuando demostró que los grupos algebraicos completos pueden embeberse en un espacio proyectivo. Entretanto, para lograr que funcionara la demostración de la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos que había anunciado en 1940, tuvo que introducir la noción de variedad algebraica y reformular los fundamentos de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin embebido proyectivo (véase también la sección de historia en el artículo sobre geometría algebraica).

Estructura del grupo de puntos Según las definiciones, una variedad abeliana es una variedad de grupo. Se puede demostrar que su grupo de puntos es conmutativo.

Para el cuerpo —y, por tanto, según el principio de Lefschetz, para cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero—, el grupo de torsión de una variedad abeliana de dimensión g es isomorfo a . Por consiguiente, su parte de n-torsión es isomorfa a , es decir, al producto de 2g copias del grupo cíclico de orden n.

Cuando el cuerpo base es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p, la n-torsión sigue siendo isomorfa a siempre que n y p sean números coprimos. Cuando n y p no son coprimos, se puede recuperar el mismo resultado interpretándolo en el sentido de que la n-torsión define un esquema de grupos plano y finito de rango 2g. Si, en lugar de considerar la estructura de esquema completa de la n-torsión, se consideran únicamente los puntos geométricos, se obtiene un nuevo invariante para variedades en característica p (el denominado p-rango cuando ). El grupo de k-puntos racionales para un cuerpo global k es finitamente generado por el teorema de Mordell-Weil. Por tanto, según el teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados, es isomorfo al producto de un grupo abeliano libre y un grupo conmutativo finito para cierto entero no negativo r llamado el rango de la variedad abeliana. Resultados similares son válidos para otras clases de cuerpos k.

Productos El producto de una variedad abeliana A de dimensión m y una variedad abeliana B de dimensión n, sobre el mismo cuerpo, es una variedad abeliana de dimensión . Una variedad abeliana es simple si no es isógeno a un producto de variedades abelianas de menor dimensión. Toda variedad abeliana es isógena a un producto de variedades abelianas simples.

Polarización y variedad abeliana dual

Variedad abeliana dual

A una variedad abeliana A sobre un cuerpo k se le asocia una variedad abeliana dual (sobre el mismo cuerpo), que es la solución al siguiente problema de módulos. Se define una familia de haces de rectas de grado 0 parametrizada por una k-variedad T como un haz de rectas L sobre tal que

Para todo t en T, la restricción de L a es un haz de rectas de grado 0 La restricción de L a es un haz de rectas trivial (aquí 0 es el elemento neutro de A).