miniaturadeimagen|400x400px| Funciones trigonométricas y sus recíprocos en la circunferencia unitaria. El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo azul muestra la identidad , y aplicado al triángulo rojo muestra que .La identidad trigonométrica pitagórica, también llamada simplemente identidad pitagórica, es una identidad que expresa el teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Junto con las fórmulas de suma de ángulos, es una de las relaciones básicas entre las funciones seno y coseno
donde significa y significa .
Demostraciones y sus relaciones con el teorema de Pitágoras miniaturadeimagen|Triángulos rectángulos semejantes que muestran el seno y el coseno del ángulo
Demostración basada en triángulos rectángulos Cualquier pareja de triángulos semejantes tiene la propiedad de que si seleccionamos el mismo ángulo en todos ellos, la razón de los dos lados que definen el ángulo es la misma independientemente de qué triángulo similar se seleccione, independientemente de su tamaño real: las razones dependen de los tres ángulos, no de las longitudes de los lados. Así, para cualquiera de los triángulos rectángulos semejantes de la figura, la relación entre su lado horizontal y su hipotenusa es la misma, es decir, .
Las definiciones elementales de las funciones seno y coseno en términos de los lados de un triángulo rectángulo son:
La identidad pitagórica se deduce elevando al cuadrado las dos definiciones anteriores y sumándolas; el lado izquierdo de la identidad se convierte entonces
que, por el teorema de Pitágoras, es igual a 1. Esta definición es válida para todos los ángulos, debido a la definición de y para el círculo unitario y, por tanto, para un círculo de radio y reflejando nuestro triángulo en el y estableciendo y .
Alternativamente, se pueden utilizar las identidades que se encuentran en la simetría trigonométrica, los desplazamientos y la periodicidad. Por las identidades de periodicidad podemos decir que si la fórmula es cierta por entonces es cierta para todos reales. A continuación, demostramos la identidad en el rango
. Para ello dejamos ,
que ahora estará dentro del rango . Entonces podemos hacer uso de versiones al cuadrado de algunas identidades de desplazamiento básicas (la elevación al cuadrado elimina convenientemente los signos menos):
Por último, queda demostrar la fórmula para ; esto puede hacerse elevando al cuadrado las identidades de simetría para obtener
Identidades relacionadas miniaturadeimagen| Triángulos rectángulos semejantes que ilustran las funciones trigonométricas tangente y secante Las dos identidades también se llaman identidades trigonométricas pitagóricas. Si un cateto de un triángulo rectángulo tiene longitud 1, entonces la tangente del ángulo adyacente a este cateto es la longitud del otro cateto, y la secante del ángulo es la longitud de la hipotenusa.
De esta forma, esa identidad trigonométrica que implica la tangente y la secante se desprende del teorema de Pitágoras. El ángulo opuesto al cateto de la longitud 1 (este ángulo se puede etiquetar como tiene cotangente igual a la longitud del otro cateto y cosecante igual a la longitud de la hipotenusa. De esta forma, esta identidad trigonométrica que implica la cotangente y la cosecante también se desprende de la teoría de Pitágoras
La siguiente tabla muestra las identidades con el factor o divisor que las relaciona con la identidad principal. +Identidades derivadas dividiendo Divisor Ecuación del divisor Identidad derivada Identidad derivada (alternativa)
Demostración utilizando la circunferencia radio 1 miniaturadeimagen|Punto del círculo de radio unitario a un ángulo obtuso miniaturadeimagen| Función sinusal en el círculo unitario (arriba) y su gráfico (abajo) El círculo unitario centrado en el origen del plan euclídeo se define por la ecuación:This result can be found using the distance formula for the distance from the origin to the point See This approach assumes Pythagoras' theorem. Alternatively, one could simply substitute values and determine that the graph is a circle.
Dado un ángulo θ, existe un único punto P sobre el círculo unitario a un ángulo θ en sentido antihorario respecto al eje x, y las coordenadas x y y de P son:
En consecuencia, a partir de la ecuación del círculo unitario, la identidad pitagórica.
En la figura, el punto tiene una coordenada negative y viene dado adecuadamente por , que es un número negativo : . El punto tiene una coordenada positiva y . A medida que aumenta de cero hasta el círculo completo , el seno y el coseno cambian de signo en los diversos cuadrantes para mantener y con los signos correctos. La figura muestra cómo varía el signo de la función sinusal a medida que el ángulo cambia de cuadrante.
Dado que los ejes y son perpendiculares, esta identidad pitagórica es equivalente al teorema de Pitágoras para triángulos con hipotenusa de longitud 1 (que a su vez es equivalente al teorema completo de Pitágoras aplicando un argumento de triángulos semejantes). Consultar Circunferencia goniométrica para una explicación.
Demostración utilizando series de potencias Las funciones trigonométricas también se pueden definir mediante series de potencias, es decir, para (un ángulo medido en radianes ):
Utilizando la fórmula de multiplicación para series de potencias en Multiplicación y división de series de potencias (modificada adecuadamente para tener en cuenta la forma de la serie aquí) obtenemos
En la expresión por , debe ser como mínimo 1, mientras que en la expresión por , el término constante es igual a 1. Los restantes términos de su suma son (sin los factores comunes)
por el teorema del binomio. En consecuencia, que es la identidad trigonométrica pitagórica.
Cuando las funciones trigonométricas se definen de esta forma, la identidad en combinación con el teorema de Pitágoras muestra que estas series de potencias parametrizan el círculo unitario, que hemos utilizado en la sección anterior. Esta definición construye las funciones seno y coseno de manera rigurosa y demuestra que son diferenciables, de modo que de hecho subsume las dos anteriores.
Demostración utilizando la ecuación diferencial El seno y el coseno se pueden definir como las dos soluciones de la ecuación diferencial :
satisfaciendo respectivamente , , . De la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se desprende que la primera solución, el seno, tiene la segunda, el coseno, como derivada, y de ello se desprende que la derivada del coseno es el negativo del seno. La identidad es equivalente a la afirmación de que la función
es constante e igual a 1. La diferenciación utilizando la regla de la cadena da:
por tanto, es constante. Un cálculo confirma que , y es una constante, por lo que para todo , por lo que se establece la identidad pitagórica.
Se puede completar una demostración similar utilizando series de potencias como la anterior para establecer que el seno tiene como derivada el coseno, y el coseno tiene como derivada el seno negativo. De hecho, las definiciones por ecuación diferencial ordinaria y por series de potencias conducen a derivaciones similares de la mayoría de identidades.
Esta demostración de la identidad no tiene ninguna conexión directa con la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras.
Demostración utilizando la fórmula de Euler Factorización como la diferencia compleja de dos cuadrados y utilizando la fórmula de Euler ,
Referencias
Categoría:Identidad matemática Categoría:Trigonometría Categoría:Wikipedia:Páginas con traducciones sin revisar