En geometría y teoría de grupos, un retículo unimodular es una red entera de determinante 1 o -1. Para un retículo en un espacio euclídeo n-dimensional, esto equivale a exigir que el volumen de cualquier dominio fundamental de la red sea 1.
El retículo E8 y el retículo de Leech son dos ejemplos conocidos.
Definiciones Un retículo es un grupo abeliano libre de rango finito con una forma bilineal simétrica asociada (·, ·). El retículo es integral si (·,·) toma valores enteros. La dimensión de un retículo es la misma que su rango (como un Z-módulo). La norma de un elemento del retículo a es (a, a). Un retículo es definido positivo si la norma de todos sus elementos no nulos es positiva. El determinante de un retículo es el determinante de la matriz de Gram, una matriz formada por (ai, aj), donde los elementos ai forman una base del retículo. Un retículo integral es unimodular si su determinante es 1 o =1. Un retículo unimodular es par o tipo II si todas las normas son pares; de lo contrario, es impar o tipo I. El mínimo de un retículo definido positivo es la norma no nula más baja. Los retículos suelen estar embebidos en un espacio vectorial real con una forma bilineal simétrica asociada. El retículo es definido positivo, lorentziano, etc., si su espacio vectorial lo es. El signo de un retículo es la signatura de la forma bilineal en el espacio vectorial.
Ejemplos
Los tres ejemplos más importantes de retículos unimodulares son:
El retículo Z (el conjunto de todos los números enteros), en una dimensión. El retículo E8, un retículo par de 8 dimensiones. El retículo de Leech, el retículo unimodular par de 24 dimensiones sin raíces.
Propiedades
Un retículo integral es unimodular si y solo si su retículo dual es integral. Los retículos unimodulares son iguales a sus retículos duales, y por esta razón, también se les conoce como autoduales.
Dado un par (m,n) de enteros no negativos, existe un retículo unimodular par de signatura (m,n) si y solo si m-n es divisible por 8, mientras que siempre existe un retículo unimodular impar de signatura (m,n). En particular, los retículos unimodulares definidos pares solo existen en dimensión divisible por 8. Ejemplos en todas las signaturas admisibles se dan mediante las construcciones IIm,n e Im,n, respectivamente.
La función theta de un retículo unimodular definido positivo es una forma modular cuyo peso es la mitad del rango. Si el retículo es par, la forma tiene nivel 1, y si es impar, tiene una estructura G0(4) (es decir, es una forma modular de nivel 4). Debido a la cota dimensional de los espacios de formas modulares, la norma mínima de un vector no nulo de un retículo unimodular par no es mayor que ⎣n/24⎦ + 1. Un retículo unimodular par que cumple esta cota se denomina extremal. Se conocen retículos unimodulares pares extremales en dimensiones relevantes hasta 80, y su inexistencia ha sido probada para dimensiones superiores a 163.264.
Clasificación
Para retículos indefinidos, la clasificación es fácil de describir. Escríbase Rm,n para el espacio vectorial Rm+n m+n dimensional con el producto interno de (a1, ..., am+n) y (b1, ..., bm+n) dado por
En Rm,n existe un retículo unimodular indefinida impar hasta isomorfismo, denotada por
Im,n,
que está dada por todos los vectores (a1,...,am+n) en Rm,n con todos los ai enteros.
No existen retículos unimodulares pares indefinidos a menos que:
m = n sea divisible por 8,
en cuyo caso existe un único ejemplo salvo isomorfismos, denotado por:
IIm,n.
Esto viene dado por todos los vectores (a1,...,am+n) en Rm,n tales que todos los ai son enteros o son todos enteros más 1/2, y su suma es par. El retículo II8,0 es el mismo que el retículo E8.
Se han clasificado retículos unimodulares definidos positivos hasta la dimensión 25. Existe un único ejemplo In,0 en cada dimensión n menor que 8, y dos ejemplos (I8,0 y II8,0) en la dimensión 8. El número de retículos aumenta moderadamente hasta la dimensión 25 (donde hay 665), pero más allá de la dimensión 25, la fórmula de masas de Smith-Minkowski-Siegel implica que el número aumenta muy rápidamente con la dimensión; por ejemplo, hay más de en la dimensión 32.
En cierto sentido, los retículos unimodulares hasta la dimensión 9 están controlados por E8, y hasta la dimensión 25 por el retículo de Leech, lo que explica su comportamiento excepcionalmente bueno en estas dimensiones. Por ejemplo, el conjunto de los diagramas de Dynkin de vectores de norma 2 de retículos unimodulares de dimensión hasta 25 se puede identificar de forma natural con una configuración de vectores en el retículo de Leech. El notable aumento de números más allá de las 25 dimensiones podría atribuirse al hecho de que estos retículos ya no están controlados por el retículo de Leech.
Incluso los retículos unimodulares definidos positivos solo existen en dimensiones divisibles por 8. Hay una en dimensión 8 (el retículo E8), dos en dimensión 16 (E82 y II16,0), y 24 en dimensión 24, denominados retículos de Niemeier (ejemplos: el retículo de Leech, II24,0, II16,0 y II8,0, II8,03). Más allá de las 24 dimensiones, el número aumenta muy rápidamente; en 32 dimensiones existen más de mil millones de ellos.
Se han clasificado retículos unimodulares sin raíces (vectores de norma 1 o 2) hasta la dimensión 29. No existen retículos de dimensión inferior a 23 (¡excepto el retículo cero!). Hay uno en dimensión 23 (denominado retículo de Leech corto), dos en dimensión 24 (el retículo de Leech y el retículo de Leech impar), y demostró que existen 0, 1, 3 y 38 en las dimensiones 25, 26, 27 y 28, respectivamente. Más allá de esto, el número aumenta muy rápidamente; hay 10092 en dimensión 29 . En dimensiones suficientemente altas, la mayoría de los retículos unimodulares no tienen raíces.
El único ejemplo no nulo de retículos unimodulares pares definidos positivos sin raíces en dimensión menor a 32 es el retículo de Leech en dimensión 24. En dimensión 32 existen más de diez millones de ejemplos, y por encima de esta dimensión el número aumenta muy rápidamente.
La siguiente tabla de muestra el número de retículos unimodulares pares o impares (o sus cotas inferiores) en diversas dimensiones, y evidencia el rápido crecimiento que comienza poco después de la dimensión 24.
Dimensión Retículos impares Retículos imparessin raíces Retículos pares Retículos paressin raíces000111102103104105106107108101 (retículo E8)092010201120123013301440155016602 (E82, D16+)017901813019160202802140022680231171 (retículo de Leech corto)242731 (retículo de Leech imnpar)24 (retículos de Niemeier)1 (retículo de Leech)256650262566 12717059 328374062 3829≥ 3793800910092 30≥ 20169641025≥ 8200000031≥ 5×1012≥ 8×101132≥ 8×1016≥ 1×1016≥ 1162109024≥ 10000000
Más allá de las 32 dimensiones, el número aumenta aún más rápidamente.
Aplicaciones El segundo grupo de cohomología de una 4-variedad topológica cerrada, simplemente conexa y orientada es un retículo unimodular. Michael Hartley Freedman demostró que este retículo casi determina la variedad: existe una única variedad de este tipo para cada retículo unimodular par, y exactamente dos para cada retículo unimodular impar. En particular, si se toma el retículo como 0, esto implica la conjetura de Poincaré para variedades topológicas de 4 dimensiones. El teorema de Donaldson establece que si la variedad es diferenciable y el retículo es definido positivo, entonces debe ser una suma de copias de Z, por lo que la mayoría de estas variedades no tienen estructura suave. Un ejemplo de ello es la variedad .
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Catálogo de retículos unimodulares de Gabriele Nebe y Neil Sloane .
Categoría:Formas cuadráticas Categoría:Puntos de retícula