En matemáticas, el grupo de automorfismos de un objeto X es el grupo formado por los automorfismos de X bajo la composición de morfismos. Por ejemplo, si X es un espacio vectorial de dimensión finita, su grupo de automorfismos es el grupo de las aplicaciones lineales invertibles de X sobre sí mismo (el grupo lineal general de X). Si X es un grupo, su grupo de automorfismos es el grupo formado por todos los automorfismos de X.
Especialmente en contextos geométricos, un grupo de automorfismos también se denomina grupo de simetría. Un subgrupo de un grupo de automorfismos se denomina a veces grupo de transformaciones.
Los grupos de automorfismos se estudian de forma general en el campo de la teoría de categorías.
Ejemplos Si X es un conjunto sin estructura adicional, entonces cualquier biyección de X sobre sí mismo es un automorfismo, y por lo tanto, el grupo de automorfismos de X en este caso es precisamente el grupo simétrico de X. Si el conjunto X tiene estructura adicional, entonces puede ocurrir que no todas las biyecciones sobre el conjunto preserven esta estructura, en cuyo caso el grupo de automorfismos será un subgrupo del grupo simétrico sobre X. Algunos ejemplos son los siguientes: El grupo de automorfismos de una extensión de cuerpos es el grupo formado por los automorfismos de cuerpo de L que fijan K. Si la extensión de cuerpos es de Galois, el grupo de automorfismos se denomina grupo de Galois de la extensión de cuerpos. El grupo de automorfismos del n-espacio proyectivo sobre un cuerpo k es el grupo lineal proyectivo El grupo de automorfismos de un grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a , grupo multiplicativo de enteros módulo n, con el isomorfismo dado por . En particular, es un grupo abeliano. El grupo de automorfismos de un álgebra de Lie real de dimensión finita tiene la estructura de un grupo de Lie (real) (de hecho, es incluso un grupo algebraico lineal: véase arriba). Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces el grupo de automorfismos de G tiene la estructura de un grupo de Lie inducido por el del grupo de automorfismos de .
Si G es un grupo actuante sobre un conjunto X, la acción equivale a un homomorfismo de grupos de G sobre el grupo de automorfismos de X y viceversa. En efecto, cada acción del lado izquierdo de un grupo G sobre un conjunto X determina y, a la inversa, cada homomorfismo define una acción de . Esto se extiende al caso en que el conjunto X tiene más estructura que un simple conjunto. Por ejemplo, si X es un espacio vectorial, entonces una acción de grupo de G sobre X es una representación de grupo del grupo G, que representa a G como un grupo de transformaciones lineales (automorfismos) de X. Estas representaciones son el principal objeto de estudio en el campo de la teoría de representación.
A continuación, se presentan otros datos sobre grupos de automorfismos:
Sean dos conjuntos finitos del mismo cardinal y el conjunto de todas las funciones biyectivas . Entonces , que es un grupo simétrico (véase arriba), actúa sobre desde la izquierda libremente y transitivamente; es decir, es un torsor para .
Sea P un módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo R. Entonces existe un encaje , único salvo automorfismos internos.
Teoría de categorías Los grupos de automorfismos aparecen de forma muy natural en la teoría de categorías.
Si X es un objeto en una categoría, entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo formado por todos los morfismos invertibles de X a sí mismo. Es la unidad de los endomorfismos de X. (Para algunos ejemplos, véase PROP.)
Si son objetos de alguna categoría, entonces el conjunto de todos los es un -torsor izquierdo. En términos prácticos, esto significa que una elección diferente de un punto base de difiere inequívocamente por un elemento de , o que cada elección de un punto base es precisamente una elección de una trivialización del torsor.
Si y son objetos de las categorías y , y si es un funtor que aplica sobre , entonces induce un homomorfismo de grupo , ya que aplica morfismos invertibles a morfismos invertibles.
En particular, si G es un grupo considerado como una categoría con un solo objeto * o, más generalmente, si G es un grupoide, entonces cada functor , siendo C una categoría, se denomina acción o representación de G sobre el objeto , o sobre los objetos . Dichos objetos se denominan entonces objetos (ya que son actuados por ); cf. -objeto. Si es una categoría de módulos como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces los objetos también se denominan módulos .
Functor de grupo de automorfismos Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k dotado de cierta estructura algebraica (es decir, M es un álgebra de dimensión finita sobre k). Puede ser, por ejemplo, un álgebra asociativa o un álgebra de Lie.
Ahora bien, considérense las aplicaciones lineales de k- que preservan la estructura algebraica, que forman un subespacio vectorial de . El grupo unitario de es el grupo de automorfismos . Cuando se elige una base en M, es el espacio de matrices cuadradas y es el conjunto cero de algunas ecuaciones polinómicas, y la invertibilidad se describe nuevamente mediante polinomios. Por lo tanto, es un grupo algebraico lineal sobre k.
Ahora bien, las extensiones de base aplicadas a la discusión anterior determinan un functor:, es decir, para cada anillo conmutativo R sobre k, considérense las aplicaciones lineales R que preservan la estructura algebraica, denotadas por . Entonces, el grupo de unidades del anillo de matrices sobre R es el grupo de automorfismos y es un grupo de functores: un functor de la categoría de anillos conmutativos sobre k a la categoría de grupos. Mejor aún, se representa mediante un esquema (ya que los grupos de automorfismos se definen mediante polinomios): este esquema se denomina esquema de grupo de automorfismos y se denota por .
En general, sin embargo, un functor de grupo de automorfismos puede no estar representado por un esquema.
Véase también Grupo de automorfismos externos Estructura de niveles, una técnica para eliminar un grupo de automorfismos Holonomía
Referencias
Bibliografía
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Enlaces externos Grupo de automorfismo de un esquema
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