El cometa de GoldbachFliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjecture”; Journal of Recreational Mathematics, v21(1) 1-7, 1989. es el nombre que recibe la gráfica de la función , también conocida como la función de Goldbach . Esta función, estudiada en relación con la conjetura de Goldbach, se define para todos los enteros pares como el número de maneras diferentes en que E puede expresarse como la suma de dos números primos. Por ejemplo, , dado que 22 puede expresarse como la suma de dos números primos de tres maneras diferentes ().
Propiedades
Una forma ilustrativa de presentar los datos del cometa es mediante un histograma. La función se puede normalizar dividiéndola por el valor promedio local de g, gav, calculado sobre aproximadamente 1000 valores vecinos del número par E. El histograma se puede acumular en un rango de hasta un 10% a cada lado de un valor central E.
Dicho histograma aparece a la derecha. Se observa una serie de picos bien definidos. Cada uno de estos picos se puede identificar como formado por un conjunto de valores de que tienen ciertos factores mínimos. Los picos principales corresponden a los factores mínimos de 3, 5, 7... como se indica. A medida que los factores mínimos aumentan, los picos se desplazan hacia la izquierda y finalmente se fusionan para dar lugar al pico primario de menor valor.
De hecho, existe una jerarquía de picos. Los picos principales se componen de picos secundarios, con una sucesión de segundos factores más pequeños de . Esta jerarquía continúa hasta que se agotan todos los factores.
La sección ampliada muestra la sucesión de picos secundarios con mayor detalle (Imagen 1).
La ubicación relativa de los picos se deduce de la forma desarrollada por Hardy y Littlewood:Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood, "Some problems of 'partitio numerorum'; III: on the expression of a number as a sum of primes", Acta Mathematica, vol. 44, pp. 1-70, 1922.
donde el producto se toma sobre todos los primos p que son factores de . El factor de la derecha es la constante de Hardy-Littlewood de primos gemelos.
Aquí el producto se toma sobre todos los primos mayores que 2.
De particular interés es el pico formado al seleccionar solo los valores primos de . El factor del producto en la ecuación (1) es entonces muy cercano a 1. El pico es muy parecido a una forma gaussiana (mostrada en gris en la Imagen 2). Para este rango de valores de E, la ubicación del pico se encuentra dentro del 0,03% del valor ideal .
Al generar histogramas para diferentes valores promedio de E, se observa que el ancho de este pico (solo primos) es proporcional a . Sin embargo, es aproximadamente 1,85 veces menor que el valor que se esperaría según la hipótesis de una ocurrencia totalmente aleatoria de coincidencias de pares primos. Esto es previsible, ya que existen correlaciones que dan lugar a los picos separados en el histograma total.
Imagen 1 Imagen 2 Imagen 3
Al considerar el rango completo de en lugar de solo los primos, se observa que otros picos asociados con factores mínimos específicos de también pueden ser aproximados por una campana de Gauss, pero solo en su hombro inferior. El hombro superior, formado por un conjunto de picos subsidiarios, se sitúa por encima de la forma gaussiana simple.
Las alturas relativas de los picos en el histograma total son representativas de las poblaciones de diversos tipos de con diferentes factores. Las alturas son aproximadamente inversamente proporcionales a , el producto de los factores más bajos. Así, la altura del pico marcado (3,5) en el histograma general es aproximadamente 1/15 de la altura del pico principal. Las alturas pueden variar en torno a un 20%; su valor exacto es una función compleja de la forma en que los picos se constituyen a partir de sus componentes y de su anchura variable.
Resulta interesante especular sobre la posibilidad de que cualquier número E tenga cero parejas primas, tomando estas formas gaussianas como probabilidad y asumiendo que su extrapolación es válida hasta el punto de cero parejas. Si se realiza este procedimiento, la probabilidad de cero parejas para cualquier E, en el rango considerado, es del orden de 10−3700. La probabilidad integrada sobre todos los E hasta el infinito, teniendo en cuenta la disminución del ancho del pico, no es mucho mayor. Es razonable esperar que cualquier búsqueda de violación de la conjetura de Goldbach se enfrente a estas probabilidades.
Referencias
Categoría:Números primos