En física teórica, la teoría de campos escalares puede referirse a una teoría clásica o cuántica relativista de campos escalares. Un campo escalar es invariante bajo cualquier transformación de Lorentz.Esto es, se transforma según la representación trivial del grupo de Lorentz, de tal forma que bajo transformaciones de Lorentz el valor del campo en cualquier punto del espaciotiempo no cambia. Esto diferencia los campos escalares de los campos vectoriales o, mas generalmente, campos tensoriales, cuyas componentes se ven transformadas bajo transformaciones de Lorentz. Dado que el espín de un campo viene determinado por la representación del grupo de Lorentz bajo la que se transforma, todos los campos escalares (y pseudoescalares) tienen espín 0, y son por tanto campos bosónicos según el teorema espín-estadística. Para más información véase
El único campo cuántico escalar fundamental observado en la naturaleza es el campo de Higgs. Sin embargo, los campos cuánticos escalares y pseudoescalaresLos campos pseudoescalares son campos escalares que cambian de signo bajo means transformaciones de paridad. Se diferencian así de los escalares "puros", invariantes bajo dichas transformaciones. Véase . aparecen a menudo en las descripciones efectivas de muchos fenómenos físicos. Por ejemplo, el pión —partícula subatómica (no fundamental) formada por un quark y un antiquark— es un pseudoescalar.
Dado que el tratamiento de su polarización es trivial, las teoría de campos escalares se utilizan a menudo para introducir conceptos y técnicas novedosos, generalizándose posteriormente a partículas de espín superior. Ch 3.
En este artículo se utilizará la signatura métrica habitual de la física de partículas, .
Teoría clásica de campos escalares
Teoría lineal (libre) La teoría de campos escalares más básica es la teoría del campo libre. Mediante la descomposición de Fourier de los campos, esta teoría es equivalente a una infinidad de osciladores acoplados, donde el límite continuo del índice que caracteriza estos osciladores pasa a ser la coordenada . La acción para la teoría de campos escalares relativista libre en número arbitrario de dimensiones espaciales es
dónde es denominado densidad lagrangiana, es la función delta de Kronecker; y es la derivada parcial según la -ésima coordenada . En el caso partícular de tres dimensiones espaciales, el elemento de volumen es .
Este es un ejemplo de una acción cuadrática en el campo . El término proporcional a se denomina habitualmente "término de masa", dada su interpretación inmediata —ya sea a través de las ecuaciones del movimiento o del tensor energía momento— como masa de la partícula.
La ecuación de movimiento de esta teoría, denominada ecuación de Klein-Gordon, se obtienen al extremar la acción anterior:
donde ∇ 2 es el laplaciano. Es inmediato comprobar que esta ecuación es lineal en , por lo que la combinación lineal de soluciones de la ecuación de Klein-Gordon es, a su vez, una solución de la ecuación de Klein-Gordon —describiendo de esta forma campos libres, sin interacción ni autointeracción.
Teoría no lineal (con interacción) La generalización más común de la teoría lineal anterior es generalizar el término de masa de la acción lineal por un potencial escalar al lagrangiano que, además de un término de masa , pueda contener otros términos no cuadráticas en . A diferencia de la ecuación de Klein-Gordon, las ecuaciones de Euler-Lagrange resultantes de este tipo de acciones no son lineales en , lo que podemos interpretar como autointeracciones del campo consigo mismo.
Los factores de la expansión se introducen por conveniencia, para absorber los factores combinatorios que surgen en la expansión en diagramas de Feynman, como se muestra más adelante.
La ecuación del movimiento (de Euler–Lagrange) de esta acción es
Análisis dimensional y unidades naturales En estas teorías de campos escalares, las magnitudes físicas tienen dimensiones de longitud, tiempo o masa, o una combinación de las tres. Sin embargo, en una teoría relativista, cualquier magnitud , con dimensiones de tiempo, puede convertirse fácilmente en una longitud, , utilizando la velocidad de la luz, . De manera similar, cualquier longitud es equivalente a una masa inversa, , utilizando la constante de Planck reducida, .
Dado que c y son constantes universales, es posible utilizarlas como factores de conversión entre las unidades de tiempo, longitud y masa. En lugar de considerarlas constantes con dimensiones físicas, puede elegirse un sistema de unidades en el que sus valores numéricos sean iguales a la unidad (c = = 1). Esta elección, conocida como sistema de unidades naturales, no modifica la física subyacente, permitiendo únicamente simplificar las expresiones. En estas unidades, tiempos tiempos y longitudes tienen las mismas dimensiones, y ambas son equivalentes al inverso de la masa: .
En resumen, podemos interpretar las dimensiones de cualquier magnitud física definidas en términos de una sola dimensión independiente, en lugar de las tres. Esta dimensión se suele denominar dimensión de masa. Conociendo las dimensiones de cada magnitud, es posible reintroducir de forma unívoca las dimensiones convencionales a partir de una expresión en unidades naturales en términos de esta dimensión de masa, simplemente reinsertando las potencias de y necesarias para la consistencia dimensional.
Dimensión de escala La dimensión de escala clásica del campo , también denominada dimensión de masa, describe la transformación del campo bajo un reescalado de las coordenadas:
Dado que la acción tiene las mismas dimensiones de , la acción tiene dimensión de masa cero (al ser adimensional en el sistema de unidades naturales). Imponiendo esta condición sobre el término cinético de la acción , de tal forma que la transformación del campo compense la de las derivadas y la del elemento de volumen, fija la dimensión de escalado:
Teorías invariantes de escala En general, la acción completa de un campo con interacciones no es invariante bajo transformaciones de escala, como puede comprobarse al introducir dicha transformación en la expresión de la acción para una teoría no lineal. La razón es que los parámetros que aparecen en la acción, como la masa del campo o las constantes de acoplamiento, se consideran parámetros fijos de la teoría y, por tanto, no se transforman bajo una dilatación. Si alguno de estos parámetros posee dimensiones de longitud o de masa, introduce una escala característica en la teoría, rompiendo la invariancia de escala. En consecuencia, una teoría será clásicamente invariante de escala únicamente si todos los parámetros que intervienen en la acción son adimensionales, es decir, si la teoría no contiene ninguna escala intrínseca.
Para un campo escalar con D dimensiones espaciotemporales, el único potencial que cumple estas condiciones es el potencial
En el caso de D = 4, n = 4, por lo que la única teoría de campos escalares clásica con invariancia de escala en cuatro dimensiones (tres espaciales, una temporal) es la denominada teoría 4.
Una teoría clásica invariante de escala normalmente no da lugar a una teoría cuántica invariante de escala, ya que esta invariancia desaparece al aplicar el procedimiento de renormalización.
Teoría de campos escalares complejos La teoría de campos escalares descrita anteriormente puede generalizarse para campos escalares complejos, donde toma valores en los números complejos, en lugar de los números reales. Los campos escalares complejos son de especial interés tras la cuantización de la teoría, ya que permiten describir teorías con partículas y antipartículas de espín 0 con carga.
La acción de un campo escalar complejo suele expresarse como
Esta teoría tiene una simetría U(1), que actúa sobre los campos como una rotación en el plano complejo, , para algún ángulo de fase real .
Teoría cuántica de campos escalares La teoría cuántica de campos parte de la teoría clásica de campos, sobre la que aplica un procedimiento denominado de cuantización. Algunos ejemplos notables de cuantización son la cuantización canónica o la formulación mediante integrales de camino. Bajo condiciones generales, todas las cuantizaciones conducen a las mismas predicciones físicas. Aunque actualmente hay una preferencia por la integral de caminos (ya que permite un tratamiento más limpio de las simetrías gauge), aquí introduciremos la formulación canónica.
En la cuantización canónica, los campos y todos los observables construidos a partir de ellos se reemplazan por operadores cuánticos en un espacio de Hilbert. Este espacio de Hilbert se construye sobre un estado de vacío, y la dinámica se rige por un hamiltoniano cuántico, un operador definido positivo que aniquila el vacío. Esencialmente, la cuantización canónica de un campo escalar supone la cuantización estándar de los infinitos modos normales (desacoplados) de dicho campo. El resultado es una infinidad de osciladores armónicos cuánticos que actúan en un espacio de Fock .
En la cuantización canónica, las variables básicas son el campo cuántico y su momento canónico . Ambos campos, con valores de operador, son hermíticos . Para dos puntos espaciales , y en instantes de tiempo idénticos, sus relaciones de conmutación canónicas vienen dadas por
mientras que el hamiltoniano libre es, de forma similar a lo anterior,
Una transformada de Fourier espacial conduce a campos en el espacio de momentos,
Es útil definir los operadores de creación y aniquilación,
donde definimos la energía . Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación
Estos operadores actúan sobre un espacio de Hilbert, cuyos vectores representan todos los posibles estados cuánticos sdel sistema. En particular, existe un estado , aniquilado por todos los operadores de aniquilación , , se identifica como el vacío. Los estados de una partícula con momento se obtienen aplicando el operador de creación sobre el vacío, . De manera análoga, los estados con un número arbitrario de partículas se obtienen aplicando sucesivamente operadores de creación al vacío. El espacio de Hilbert generado por todos estos estados recibe el nombre de espacio de Fock.
El vacío es además aniquilado por el hamiltoniano
donde la energía de punto cero ha sido eliminada mediante el ordenamiento de Wick.
Las interacciones se introducen añadiendo un término de interacción al hamiltoniano, . En la representación de interacción, las amplitudes de dispersión pueden calcularse perturbativamente mediante la expansión del operador de evolución, conocida como serie de Dyson. Esta expansión permite expresar las amplitudes en términos de productos de campos ordenados temporalmente, cuyas expectativas en el vacío definen las funciones de Green .
Notas
Referencias
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