Un álgebra de De Morgan es una estructura de la álgebra universal, la teoría de retículos y la lógica algebraica que generaliza a las álgebras de Boole. Formalmente, es un retículo distributivo acotado equipado con una operación unaria involutiva que invierte el orden y satisface las leyes de De Morgan.

Definición Una álgebra de De Morgan es un álgebra

de tipo tal que es un retículo distributivo acotado, con elemento mínimo y elemento máximo , y es una operación unaria que cumple, para todo :

De estas condiciones se sigue también . La operación se interpreta como una negación algebraica o cuasicomplemento: no exige que ni que , a diferencia de la complementación booleana.

En términos de orden, si significa , la operación es antítona:

Por ello puede describirse como un automorfismo dual involutivo del retículo acotado subyacente.

Historia El nombre está vinculado con las leyes de De Morgan, formuladas en el por Augustus De Morgan. En su sentido algebraico moderno, las estructuras correspondientes fueron estudiadas por Grigore Moisil en 1935 bajo la denominación de retículos de De Morgan.

En 1957, Andrzej Białynicki-Birula y Helena Rasiowa estudiaron estas estructuras con el nombre de «álgebras cuasi-booleanas» y llamaron «cuasicomplemento» a la operación unaria. Mostraron que toda álgebra cuasi-booleana es isomorfa a un «cuasi-campo» de conjuntos, representación que retoma el teorema de representación de Birkhoff para retículos distributivos.

En 1958, John Arnold Kalman estudió los retículos con involución y determinó una parte central de la teoría de subvariedades: la variedad de las álgebras de De Morgan tiene como subvariedades no triviales principales a las álgebras booleanas, las álgebras de Kleene y la variedad completa de las álgebras de De Morgan.

Desde la década de 1970, el estudio de estas álgebras se integró con la dualidad topológica de Priestley. William H. Cornish y Peter R. Fowler extendieron dicha dualidad a las álgebras de De Morgan, usando espacios ordenados compactos totalmente separados por el orden con una involución que es homeomorfismo y anti-isomorfismo de orden.

Ejemplos

Álgebras booleanas Toda álgebra booleana es un álgebra de De Morgan si se toma como el complemento booleano de . En este caso valen las identidades más fuertes:

Por ello, las álgebras booleanas constituyen una subvariedad propia de las álgebras de De Morgan.

Cadena de tres elementos La cadena , con , , y , es un ejemplo de álgebra de De Morgan que no es booleana. Es además un álgebra de Kleene.

Álgebra de cuatro elementos La estructura , donde es mínimo, es máximo, y son incomparables, y

es el álgebra subdirectamente irreducible que genera la variedad completa de las álgebras de De Morgan.

Álgebra estándar difusa El álgebra

es un ejemplo de álgebra de De Morgan: el retículo subyacente es la cadena real cerrada , con unión dada por el máximo, intersección dada por el mínimo y negación .

Álgebras de dos subconjuntos Janusz Brzozowski mostró que toda álgebra de De Morgan es isomorfa a un álgebra de pares de subconjuntos. Dado un conjunto , se consideran pares de subconjuntos de , con operaciones:

y constantes , . Esta representación generaliza resultados previos sobre álgebras ternarias usadas en ciencias de la computación.

Subvariedades principales

Álgebras booleanas Una álgebra de De Morgan es booleana si satisface:

En ese caso, coincide con el complemento booleano de .

Álgebras de Kleene Una álgebra de Kleene es un álgebra de De Morgan que satisface la identidad asociada a la desigualdad:

equivalentemente,

Las álgebras de Kleene forman una subvariedad intermedia entre las álgebras booleanas y las álgebras de De Morgan.

Cadena de subvariedades John Arnold Kalman mostró que la red de subvariedades de las álgebras de De Morgan es una cadena de cuatro elementos:

donde es la variedad trivial, la variedad de las álgebras booleanas, la variedad de las álgebras de Kleene y la variedad de todas las álgebras de De Morgan.

Las tres álgebras subdirectamente irreducibles no triviales son, salvo isomorfismo, las álgebras de dos, tres y cuatro elementos. La de dos elementos genera la variedad booleana, la de tres elementos genera la variedad de Kleene y la de cuatro elementos genera la variedad completa de las álgebras de De Morgan.

Dualidad de Priestley La dualidad de Priestley para retículos distributivos acotados puede extenderse a las álgebras de De Morgan. En esta extensión, a un álgebra de De Morgan le corresponde un espacio de Priestley equipado con una involución continua que invierte el orden.

Si es un espacio de Priestley con una involución que es homeomorfismo y anti-isomorfismo de orden, entonces el conjunto de subconjuntos clopen crecientes de forma un álgebra de De Morgan con las operaciones usuales de unión e intersección y con negación:

para todo .

En esta representación, las congruencias de un álgebra de De Morgan se corresponden con subconjuntos cerrados invariantes bajo la involución, o, según la convención dual empleada, con abiertos invariantes. Esta relación permite estudiar congruencias, cocientes, coproductos y propiedades de subvariedades mediante métodos topológicos.

Álgebras libres Una álgebra de De Morgan libre sobre un conjunto de generadores cumple la propiedad universal usual: toda asignación de los generadores en otra álgebra de De Morgan se extiende de manera única a un homomorfismo.

Movsisyan y Aslanyan introdujeron la noción de función de De Morgan y demostraron que el álgebra de De Morgan libre con generadores es isomorfa al álgebra de las funciones de De Morgan de variables. Las funciones de De Morgan admiten una forma normal determinada por anticadenas. En particular, toda función de De Morgan de variables está asociada de manera única con una anticadena de .

De esta caracterización se sigue que el número de elementos del álgebra libre con generadores coincide con el número de anticadenas de un conjunto booleano de generadores, es decir, con el número de Dedekind .

Congruencias y propiedades categóricas Las congruencias de las álgebras de De Morgan han sido estudiadas mediante dualidad topológica. A diferencia de lo que ocurre en la variedad de las álgebras de Kleene, en la variedad completa de las álgebras de De Morgan puede fallar la propiedad de que la intersección de dos congruencias principales sea principal.

La variedad de las álgebras de De Morgan es universal en sentido categórico: toda categoría algebraica puede embeberse plenamente en ella. Como consecuencia, para cualquier monoide dado existe una clase propia de álgebras de De Morgan no isomorfas que lo tienen como monoide de endomorfismos. Este resultado contrasta con el caso booleano, donde un álgebra booleana queda determinada por su monoide de endomorfismos.

Estructuras relacionadas

Álgebras de Ockham Las álgebras de Ockham generalizan las álgebras de De Morgan al conservar una operación dual de retículo sin exigir necesariamente la involutividad . Peter R. Fowler trató las álgebras de Ockham como una generalización natural de las álgebras de De Morgan en el marco de los retículos distributivos con operación dual.

Álgebras MS Las álgebras MS fueron introducidas por Thomas Scott Blyth y J. C. Varlet como una abstracción común de las álgebras de De Morgan y las álgebras de Stone. En una álgebra MS, la operación unaria cumple condiciones más débiles, mientras que en las álgebras de De Morgan se obtienen cuando se añade la identidad .

Álgebras semi-De Morgan Hanamantagouda P. Sankappanavar introdujo las álgebras semi-De Morgan como una clase ecuacional que abstrae simultáneamente las álgebras de De Morgan y los retículos distributivos pseudocomplementados. En una álgebra semi-De Morgan, los elementos cerrados tales que forman un álgebra de De Morgan.

Álgebras de De Morgan con operadores Las álgebras de De Morgan con operadores agregan operaciones adicionales, por ejemplo operadores de Stone, operadores modales o temporales. Roberto Cignoli y Marta S. de Gallego estudiaron álgebras de De Morgan con operadores vinculadas con álgebras de Łukasiewicz de tres, cuatro y cinco valores. Sergio A. Celani introdujo las álgebras de De Morgan modales clásicas como una generalización de las álgebras modales tetravalentes. Aldo V. Figallo y Gustavo Pelaitay definieron álgebras de De Morgan temporales, generalizando las álgebras temporales booleanas.

Álgebras de De Morgan pseudocomplementadas Una álgebra de De Morgan pseudocomplementada combina una negación de De Morgan con una operación de pseudocomplemento. Esta familia permite estudiar conexiones con álgebras de Stone, álgebras dobles pseudocomplementadas, regularidad, rango finito y redes de subvariedades.

Aplicaciones En lógica algebraica, las álgebras de De Morgan proporcionan una semántica algebraica para lógicas con negación involutiva que no necesariamente satisfacen los principios booleanos de no contradicción y tercero excluido. También se relacionan con lógicas plurivalentes y con la lógica tetravalente de Nuel Belnap.

En ciencias de la computación, las álgebras de De Morgan y estructuras afines aparecen en el estudio de circuitos multivaluados, detección de riesgos, álgebras ternarias y modelos algebraicos de conjuntos difusos de tipo 2.

Véase también

Leyes de De Morgan Álgebra de Boole Retículo distributivo Lógica algebraica Lógica multivaluada Álgebra de Heyting Lógica paraconsistente

Referencias

Bibliografía

Libros y monografías

Artículos fundamentales

Capítulos y obras colectivas

Enlaces externos

«De Morgan algebra» en nLab. «Coproducts of De Morgan algebras» en Cambridge Core. «A Characterization of De Morgan Algebras» en World Scientific.

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