La fórmula de Cauchy para la integración repetida, que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy, permite condensar n antiderivadas de una función en una sola integral (véase la fórmula de Cauchy). Para n no entero, da lugar a la definición de integrales fraccionarias y (con n < 0) de derivadas fraccionarias.

Caso escalar Sea f0 una función continua en la recta real. Entonces, la n-ésima integral iterativa de f con punto de base a,

viene dada por una integración simple

Demostración La demostración se realiza mediante inducción. El caso base con n = 1 es trivial, ya que es equivalente a

Ahora, supongamos que esto es cierto para n, y demostremos que lo es para n + 1. En primer lugar, utilizando la regla de integración de Leibniz, observamos que

A continuación, aplicando la hipótesis de inducción,

Obsérvese que el término entre corchetes contiene n integraciones sucesivas, y que el límite superior de la integral más externa dentro de los corchetes es . Por lo tanto, comparando con el caso para «n» = «n» y sustituyendo de la fórmula en el paso de inducción «n» = «n» por respectivamente, se obtiene

Al colocar esta expresión dentro del corchete se obtiene

Se ha demostrado que esta afirmación es cierta para el caso base . Si la afirmación es verdadera para , entonces se ha demostrado que la afirmación es verdadera para . Por lo tanto, se ha demostrado que esta afirmación es verdadera para todos los números enteros positivos.

Con esto se completa la demostración.

Generalizaciones y aplicaciones La fórmula de Cauchy se generaliza a parámetros no enteros mediante la integral de Riemann-Liouville, donde se sustituye por , y el factorial se sustituye por la función gamma. Las dos fórmulas coinciden cuando .

Tanto la fórmula de Cauchy como la integral de Riemann–Liouville se generalizan a dimensiones arbitrarias mediante el potencial de Riesz.

En el cálculo fraccionario, estas fórmulas pueden utilizarse para construir una diferintegral, lo que permite derivar o integrar un número fraccionario de veces. La derivación un número fraccionario de veces puede lograrse mediante integración fraccionaria y, a continuación, derivando el resultado.

Referencias Augustin-Louis Cauchy: «Trente-Cinquième Leçon». En: «Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal». Imprimerie Royale, París 1823. Reimpresión: “'Œuvres complètes”' II(4), Gauthier-Villars, París, pp. 5–261. Gerald B. Folland, “'Advanced Calculus”', p. 193, Prentice Hall (2002).

Enlaces externos

Categoría:Cálculo integral Categoría:Teoremas de análisis matemático