En cálculo multivariable, una integral iterativa es el resultado de aplicar integrales a una función de más de una variable (por ejemplo, o ) de tal manera que cada una de las integrales considera algunas de las variables como constantes dadas. Por ejemplo, la función , si se considera un parámetro dado, puede integrarse con respecto a , . El resultado es una función de y, por lo tanto, puede considerarse su integral. Si se hace esto, el resultado es la integral iterada
También se utiliza la notación alternativa para las integrales iteradas
.
En la notación que utiliza paréntesis, las integrales iteradas se calculan siguiendo el orden de las operaciones indicado por los paréntesis, comenzando por la integral más interna hacia la exterior. En la notación alternativa, escribiendo , se calcula primero el integrando más interno.
Frente a las integrales múltiples Es fundamental para el concepto de integrales iteradas que esto sea diferente, en principio, de la integral múltiple
En general, aunque estas dos pueden ser diferentes, el teorema de Fubini establece que, bajo condiciones específicas, son equivalentes.
Ejemplos
Un cálculo sencillo Para la integral iterada
la integral
se calcula primero y, a continuación, el resultado se utiliza para calcular la integral con respecto a “'y”'.
En este ejemplo se omiten las constantes de integración. Tras la primera integración con respecto a x, riguramente tendríamos que introducir una función «constante» de y. Es decir, si deriváramos esta función con respecto a x, cualquier término que contuviera solo y desaparecería, dejando el integrando original. De forma similar, para la segunda integral, introduciríamos una función «constante» de «x», ya que hemos integrado con respecto a «y». De este modo, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.
Falta de conmutatividad El orden en que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, especialmente cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a resultados distintos suelen corresponder a funciones complicadas como la que sigue.
Definamos la secuencia tal que . Sea una secuencia de funciones continuas que no se anulan en el intervalo y son cero en el resto, de tal manera que para todo . Defina
En la suma anterior, en cada punto concreto , hay como máximo un término distinto de cero. Para esta función se da queRudin, W., Real and complex analysis, 1970
Referencias
Categoría:Integrales