En teoría de categorías, un funtor fiel es un funtor inyectivo sobre conjuntos de morfismos (hom-sets, en inglés), y un funtor completo es sobreyectivo sobre conjuntos de morfismos. Un funtor que posee ambas propiedades se denomina funtor completamente fiel .

Definiciones formales Explícitamente, sean y categorías (localmente pequeñas) y sea sea un funtor de a . El funtor induce una función

para cada par de objetos e en . Se dice que el funtor es

fiel si es inyectiva completo si es sobreyectivo completamente fiel (o, lo que es lo mismo, completo y fiel) si es biyectiva

para cada e en .

Propiedades Un funtor fiel no es necesariamente inyectivo en objetos o morfismos. Es decir, dos objetos y pueden enviar al mismo objeto en (de donde el rango de un funtor completo y fiel no es necesariamente isomorfo a ), y dos morfismos y (con distintos dominio y codominio) pueden enviar al mismo morfismo en . Del mismo modo, un funtor completo no tiene por qué ser sobreyectivo en objetos o morfismos. Puede haber objetos en que no correspondan a algún para algún objeto en . Los morfismos entre tales objetos claramente no pueden provenir de morfismos en .

Un funtor completo y fiel es necesariamente inyectivo en objetos salvo isomorfismos. Es decir, si es un funtor completo y fiel, y , entonces .

Ejemplos

El funtor olvidadizo asigna grupos a su conjunto subyacente, "olvidando" la estructura del grupo. es fiel pues dos homomorfismos de grupo con el mismo dominio y codominio son iguales si están dados por las mismas funciones en los conjuntos subyacentes. Nótese que este funtor no es completo, ya que existen funciones entre los conjuntos subyacentes de grupos que no son homomorfismos de grupo. Una categoría con un funtor fiel con rango en es, por definición, una categoría concreta. En general, un funtor olvidadizo no es completo. El funtor de inclusión entre las categorías de grupos abelianos y grupos, es totalmente fiel, pues la categoría de grupos abelianos es la subcategoría completa de Grp inducida por los grupos abelianos.

Bibliografía 

Mac Lane, Saunders (Septiembre 1989). Categories for the Working Mathematician (segunda edición). Springer.

Categoría:Funtores