En el estudio del álgebra geométrica, una -cuchilla (nombre original en inglés, "k-blade"), o también llamada -hoja, o -vector simple, es una generalización del concepto de escalares y vectores para poder incluir bivectores simples, trivectores simples o cualquier tipo de multivectores simples. Específicamente, una -cuchilla es un -vector que puede expresarse como producto exterior (informalmente, producto de cuña) de 1-vectores, y es de grado .
Propiedades En detalle:
Una 0-cuchilla es un escalar. Una 1-cuchilla es un vector. Cada vector es simple. Una 2-cuchilla es un bivector simple. Las sumas de 2-cuchillas también son bivectores, pero no siempre simples. Una 2-cuchilla se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores y :
Una 3-cuchilla es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto de cuña de tres vectores , y :
En espacios vectoriales de dimensión ≤ 3, cualquier k-vector es una cuchilla. En dimensiones ≥ 4, existen k-vectores (ya a partir del grado 2) que no son cuchillas. Esto hace que la distinción sea importante, porque en dimensiones mayores la mayoría de los k-vectores no corresponden a ningún subespacio, lo que requiere definir las cuchillas por separado de los k-vectores para identificar los k-vectores que sí lo hacen. En un espacio vectorial de dimensión , una cuchilla de grado se llama pseudovector o antivector. El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar, y en un espacio de dimensión es una -cuchilla. En un espacio vectorial de dimensión , hay grados de libertad para elegir una -cuchilla para , de las que una dimensión es un multiplicador de escala general.For Grassmannians (including the result about dimension) a good book is: . The proof of the dimensionality is actually straightforward. Take vectors and wedge them together and perform elementary column operations on these (factoring the pivots out) until the top block are elementary basis vectors of . The wedge product is then parametrized by the product of the pivots and the lower block. Compare also with the dimension of a Grasmaniano, , in which the scalar multiplier is eliminated.
Un subespacio vectorial de dimensión finita puede representarse mediante la -cuchilla formada como un producto de cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio. De hecho, una -cuchilla es naturalmente equivalente a un subespacio dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alterna ) normalizada para tomar un valor unitario en la -cuchilla.
Ejemplos En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-cuchillas, los vectores son 1-cuchillas y los elementos con área son 2-cuchillas, en este contexto conocidos como pseudoescalares, ya que son elementos de un espacio unidimensional distinto de los escalares regulares.
En el espacio tridimensional, las 0-cuchillas son nuevamente escalares y las 1-cuchillas son vectores tridimensionales, mientras que las 2-cuchillas son elementos de área orientada. En este caso, las 3-cuchillas se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las 3-cuchillas se transforman según el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas.
Véase también Grasmaniano Multivector Producto exterior Forma diferencial Álgebra geométrica Álgebra de Clifford
Notas
Referencias
A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando geometría Informe técnico de álgebra . Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
Enlaces externos A Geometric Algebra Primer, especialmente para informáticos.
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