miniatura|Aparato do efeito Aharonov-Bohm, com a barreira X, as fendas S1 e S2, os caminhos dos elétrons e1 e e2, o filamento magnético W, a tela P, o padrão de interferência I, a densidade de fluxo magnético B, orientada para fora da figura, e o vetor potencial magnético A. B é praticamente nulo fora do filamento. Em alguns experimentos, o filamento é substituído por um solenoide. Os elétrons do caminho 1 sofrem um deslocamento de fase em relação aos do caminho 2 devido ao vetor potencial, embora a densidade de fluxo seja nula. miniatura|200px|Yakir Aharonov miniatura|200px|David Bohm
O efeito Aharonov-Bohm, por vezes chamado de efeito Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm, é um fenômeno da mecânica quântica no qual a fase da função de onda de uma partícula com carga elétrica depende do potencial eletromagnético (, ), de modo que pode surgir uma diferença de fase observável mesmo quando a partícula permanece confinada a uma região na qual o campo magnético e o campo elétrico são nulos. O mecanismo envolve o acoplamento do potencial eletromagnético com a fase complexa da função de onda. A grandeza observável é a diferença de fase entre caminhos, que é invariante sob transformações de gauge. O efeito pode ser observado em experimentos de interferência, como o experimento da dupla fenda.
O caso mais descrito, por vezes chamado de efeito Aharonov-Bohm do solenoide, ocorre quando a função de onda de uma partícula carregada que passa ao redor de um solenoide longo sofre um deslocamento de fase devido ao fluxo magnético encerrado, embora o campo magnético seja desprezível na região atravessada pela partícula e a função de onda da partícula seja desprezível no interior do solenoide. Esse deslocamento de fase foi observado experimentalmente. Também foram estudadas variantes magnéticas envolvendo energias de estados ligados e seções de choque de espalhamento. No caso dos estados ligados, Murray Peshkin apontou a quantização do fluxo em anéis supercondutores e junções de Josephson como uma confirmação experimental do efeito nessa formulação.
Também foi previsto um fenômeno Aharonov-Bohm elétrico, no qual uma partícula carregada adquire uma diferença de fase entre regiões de diferentes potenciais elétricos, embora o campo elétrico seja nulo ao longo de seus caminhos. A forma original, dependente do tempo e com as partículas inteiramente protegidas de campos elétricos, não recebeu uma demonstração experimental direta amplamente aceita. Um efeito Aharonov-Bohm "molecular" distinto foi proposto para o movimento nuclear em regiões multiplamente conexas, mas foi argumentado que se trata de outro tipo de fase geométrica, pois é "nem não local nem topológico" e depende apenas de grandezas locais ao longo do caminho nuclear.
Em 1939, Walter Franz apresentou um trabalho sobre interferência de elétrons em campo magnético. B. J. Hiley tratou esse episódio como um possível antecedente do efeito, sem estabelecer prioridade conclusiva para Franz. Werner Ehrenberg (1901–1975) e Raymond E. Siday previram o efeito em 1949. Yakir Aharonov e David Bohm publicaram sua análise em 1959. Depois da publicação do artigo de 1959, Bohm tomou conhecimento do trabalho de Ehrenberg e Siday, que foi reconhecido e creditado no artigo seguinte de Bohm e Aharonov, publicado em 1961. Robert G. Chambers realizou em 1960 uma das primeiras experiências que mostraram o deslocamento previsto, embora campos residuais deixassem margem a objeções. Experimentos posteriores de Akira Tonomura e colaboradores, em especial o de 1986 com blindagem supercondutora, forneceram uma demonstração muito mais precisa do efeito.
Significado Nos séculos XVIII e XIX, a física era dominada pela dinâmica newtoniana, com ênfase nas forças. Fenômenos eletromagnéticos foram esclarecidos por experimentos que mediam forças entre cargas, correntes elétricas e ímãs em diferentes configurações. Formou-se uma descrição na qual cargas, correntes e ímãs eram fontes locais de campos que agiam sobre outras cargas e correntes por meio da força de Lorentz. Como um campo eletrostático é irrotacional e o campo magnético tem divergência nula, é possível escrever o primeiro como o gradiente de um potencial escalar e o segundo como o rotacional de um vetor potencial.
A linguagem dos potenciais também vale para campos que variam no tempo. Os potenciais não são determinados de maneira única pelos campos. Uma transformação de gauge da forma
deixa os campos e inalterados.
O efeito Aharonov-Bohm levanta três questões na formulação do eletromagnetismo clássico de Maxwell como uma teoria de gauge: se os potenciais têm significado físico próprio ou são ferramentas matemáticas para representar grandezas invariantes de gauge; o papel dos princípios de ação, como o princípio de ação estacionária; o princípio da localidade.
Os experimentos de Aharonov-Bohm não tornam observável um valor particular do quadripotencial , pois ele muda sob uma transformação de gauge. Por outro lado, os valores locais de e apenas nas regiões percorridas pela partícula não determinam a fase Aharonov-Bohm. A diferença de fase pode ser escrita como uma integral do potencial ao longo dos caminhos ou, de maneira equivalente no caso magnético, em termos do fluxo magnético encerrado. O fator de fase resultante é invariante de gauge.
O efeito foi incluído pela revista New Scientist entre as "sete maravilhas do mundo quântico". Chen Ning Yang considerou o efeito Aharonov-Bohm a única prova experimental direta do princípio de gauge.
Potenciais e campos Uma interpretação do efeito Aharonov-Bohm atribui aos potenciais eletromagnéticos, Φ e A, um significado físico maior na mecânica quântica do que no eletromagnetismo clássico. Isso não significa que o valor de um potencial dependente de gauge seja diretamente mensurável. O que aparece no experimento é uma diferença de fase invariante de gauge, ou, em linguagem geométrica, a holonomia da conexão em torno de um caminho fechado.
Lev Vaidman mostrou que o efeito também pode ser formulado sem atribuir um papel causal direto aos potenciais, desde que a fonte do campo eletromagnético seja incluída no tratamento quântico. Nessa descrição, a fase decorre de interações locais entre o campo do elétron e a fonte do potencial. Aharonov, Eliahu Cohen e Daniel Rohrlich contestaram que essa abordagem pudesse eliminar os potenciais em todos os casos. Eles mostraram exemplos com descrições locais em termos de grandezas dependentes de gauge e outros com descrições não locais em termos de grandezas invariantes de gauge. A interpretação causal do efeito continua admitindo formulações distintas, entre elas descrições por potenciais, campos globais, holonomias e tratamentos quânticos que incluem a fonte.
Dois artigos publicados em Physical Review A em 2017 trataram quanticamente o elétron e a fonte do campo. A fase pode ser organizada matematicamente como a ação do vetor potencial do solenoide sobre o elétron, do vetor potencial do elétron sobre o solenoide, ou das correntes do elétron e do solenoide sobre o vetor potencial quantizado.
Ação global e forças locais O efeito Aharonov-Bohm é descrito de maneira direta pelo formalismo de ação. Para uma partícula de carga , o acoplamento eletromagnético acrescenta à ação um termo
Na formulação de integrais de caminho, cada trajetória recebe uma fase proporcional a . Assim, duas trajetórias podem adquirir fases diferentes mesmo quando a força de Lorentz é nula ao longo de cada uma. Uma descrição baseada apenas na força local exercida sobre a partícula de teste não contém, por si só, essa informação de fase.
Richard Feynman comentou que havia aprendido eletromagnetismo pela perspectiva dos campos eletromagnéticos e que mais tarde preferiria tê-lo aprendido em termos do potencial eletromagnético. Na formulação de integrais de caminho de Feynman, a mudança de fase causada pelo acoplamento eletromagnético entra diretamente na amplitude quântica.
Localidade dos efeitos eletromagnéticos Os valores locais dos campos E e B ao longo dos caminhos da partícula não bastam para calcular o efeito Aharonov-Bohm. Pelo teorema de Stokes, a diferença de fase magnética pode ser calculada a partir da integral do vetor potencial na região acessível à partícula ou a partir do fluxo de B através de uma superfície limitada pelos caminhos. Essa superfície atravessa a região de fluxo que a partícula não percorre.
As duas maneiras de escrever o resultado levantam uma questão de localidade. A equação de Schrödinger com o potencial oferece uma descrição local ao longo da trajetória, mas o potencial é dependente de gauge. Uma formulação apenas com grandezas invariantes de gauge pode usar o fluxo encerrado ou a holonomia, que são grandezas associadas ao caminho completo. Tratamentos que incluem a fonte quântica oferecem outra forma de organizar a interação. O efeito, por isso, não seleciona sozinho uma única interpretação sobre a localidade ou sobre quais grandezas eletromagnéticas devem ser tomadas como fundamentais.
Feynman apresentou os potenciais como particularmente naturais na formulação quântica. Os observáveis, porém, permanecem invariantes sob transformações de gauge. A partir do quadripotencial pode-se obter E e B, enquanto os campos não determinam um potencial único devido à liberdade de gauge.
Efeito magnético do solenoide O efeito Aharonov-Bohm magnético pode ser entendido a partir da exigência de que os resultados físicos sejam invariantes em relação à escolha de gauge do potencial eletromagnético, do qual o vetor potencial magnético faz parte.
Na formulação hamiltoniana, a interação de uma partícula de massa e carga com os potenciais eletromagnéticos pode ser escrita por acoplamento mínimo como
em que é o momento canônico. O momento cinético é .
Uma partícula de carga que percorre um caminho numa região com campo magnético nulo, mas com não necessariamente nulo, adquire uma contribuição de fase dada em unidades do SI por
Duas trajetórias com os mesmos pontos inicial e final adquirem uma diferença de fase
em que é o fluxo magnético encerrado. A segunda igualdade segue do teorema de Stokes.
miniatura|direita|250px|Esquema de um experimento de dupla fenda no qual o efeito Aharonov-Bohm pode ser observado. Elétrons passam pelas duas fendas e interferem numa tela de observação. O padrão de interferência se desloca quando o campo magnético B no filamento é alterado. O campo B aponta para fora da figura. O fluxo de retorno, orientado para dentro, não é mostrado e fica fora dos caminhos dos elétrons. A seta mostra a direção do campo A, que se estende para fora da região delimitada mesmo onde B não está presente.
Na mecânica quântica, a amplitude de propagação entre dois pontos pode receber contribuições de diferentes caminhos. A diferença de fase pode ser observada colocando-se um solenoide entre as fendas de um experimento da dupla fenda, ou num arranjo equivalente. Um solenoide ideal, infinitamente longo e com distribuição de corrente perfeitamente uniforme, encerra um campo magnético , mas não produz campo magnético no exterior. Uma partícula carregada que passa pelo lado de fora não encontra campo magnético local. Essa idealização não é necessária para a existência do efeito, desde que o fluxo de retorno permaneça fora das trajetórias relevantes e campos dispersos sejam controlados. Um arranjo pode usar, por exemplo, um solenoide toroidal blindado. O vetor potencial no exterior pode ter rotacional nulo e, ainda assim, produzir uma integral não nula em torno do fluxo encerrado. A alteração da corrente desloca então as franjas de interferência.