Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular.Levy , p. 132.
Definições e exemplos Se abreviarmos cofinalidade de como , podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que é regular se e singular se , pois ≤ vale para todo ordinal.Ibid. De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal é singular se resulta da união de uma quantidade menor que de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que :
Jech , p. 32.
Por exemplo, é singular pois:
Hrbacek Jech , p. 161.
ou seja, é a união de conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que .
Por outro lado, é regular, pois . Kunen , p. 33. Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito. Hrbacek Jech , p. 72.
Cardinais regulares e o axioma da escolha Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerávelJech , p. 48−49. e portanto é regular. Sem o axioma da escolha, (que implica que é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.
Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma (denominado cardinal sucessor) é regular.Levy , p. 135. Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em temos que ou é um ordinal limite.Levy , p. 90. Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de ,Denominados fracamente inacessíveis se ZFC é consistente. Kunen , p. 34.
Bibliografia
Categoria:Matemática Categoria:Teoria dos conjuntos Categoria:Cardinalidade