thumb|250px|Gráfico de uma função do quinto grau
miniatura|direita|233px|Gráfico de um polinômio de grau 5, com 3 zeros (raízes) reais e 4 pontos críticos.
Em matemática, uma função quíntica é uma função da forma
onde , , , , e são membros de um corpo, tipicamente os números racionais, os números reais ou os números complexos, e é não nulo. Em outras palavras, uma função quíntica é definida por um polinômio de grau cinco.
Por terem um grau ímpar, as funções quínticas normais parecem semelhantes às funções cúbicas normais quando representadas graficamente, exceto por poderem possuir um máximo local adicional e um mínimo local adicional. A derivada de uma função quíntica é uma função quártica.
Definir e assumir produz uma equação quíntica da forma:
A resolução de equações quínticas em termos de radicais (raízes n-ésimas) foi um grande problema na álgebra a partir do século XVI, quando as equações cúbicas e as equações quárticas foram resolvidas, até a primeira metade do século XIX, quando a impossibilidade de tal solução geral foi provada com o Teorema de Abel-Ruffini.
Encontrando as raízes de um polinômio quíntico
Encontrar as raízes (zeros) de um dado polinômio tem sido um problema matemático proeminente.
A resolução de equações lineares, quadráticas, cúbicas e quárticas em termos de radicais e operações aritméticas elementares nos coeficientes sempre pode ser feita, independentemente de as raízes serem racionais ou irracionais, reais ou complexas; existem fórmulas que produzem as soluções exigidas. No entanto, não existe uma expressão algébrica (isto é, em termos de radicais) para as soluções de equações quínticas gerais sobre os racionais; esta afirmação é conhecida como o Teorema de Abel-Ruffini, afirmado pela primeira vez em 1799 e completamente provado em 1824. Este resultado também é válido para equações de grau superior. Um exemplo de uma quíntica cujas raízes não podem ser expressas em termos de radicais é .
Aproximações numéricas das raízes de quínticas podem ser calculadas com algoritmos de busca de raízes para polinômios. Embora algumas quínticas possam ser resolvidas em termos de radicais, a solução é geralmente complicada demais para ser usada na prática.
Quínticas solúveis
Algumas equações quínticas podem ser resolvidas em termos de radicais. Estas incluem as equações quínticas definidas por um polinômio que é redutível, tal como . Por exemplo, foi demonstrado que
tem soluções em radicais se e somente se tiver uma solução inteira ou r for um de ±15, ±22440, ou ±2759640, casos em que o polinômio é redutível.
Como a resolução de equações quínticas redutíveis se reduz imediatamente à resolução de polinômios de grau inferior, apenas equações quínticas irredutíveis são consideradas no restante desta seção, e o termo "quíntica" se referirá apenas a quínticas irredutíveis. Uma quíntica solúvel é, portanto, um polinômio quíntico irredutível cujas raízes podem ser expressas em termos de radicais.
Para caracterizar as quínticas solúveis, e mais genericamente polinômios solúveis de grau superior, Évariste Galois desenvolveu técnicas que deram origem à teoria dos grupos e à teoria de Galois. Aplicando essas técnicas, Arthur Cayley encontrou um critério geral para determinar se uma dada quíntica é solúvel.A. Cayley, "On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151:263-276 (1861) Esse critério é o seguinte.Esta formulação do resultado de Cayley foi extraída do artigo de Lazard (2004).
Dada a equação
a Transformação de Tschirnhaus , que deprime a quíntica (isto é, remove o termo de grau quatro), dá a equação
onde
Ambas as quínticas são solúveis por radicais se e somente se forem fatoráveis em equações de graus inferiores com coeficientes racionais ou o polinômio , chamado , tiver uma raiz racional em , onde
e
O resultado de Cayley permite testar se uma quíntica é solúvel. Se for o caso, encontrar as suas raízes é um problema mais difícil, que consiste em expressar as raízes em termos de radicais envolvendo os coeficientes da quíntica e a raiz racional do resolvente de Cayley.
Em 1888, George Paxton Young descreveu como resolver uma equação quíntica solúvel, sem fornecer uma fórmula explícita;George Paxton Young, "Solvable Quintic Equations with Commensurable Coefficients", American Journal of Mathematics 10:99–130 (1888), em 2004, Daniel Lazard escreveu uma fórmula de três páginas.
Quínticas na forma de Bring-Jerrard
Existem várias representações paramétricas de quínticas solúveis da forma , chamada de forma de Bring-Jerrard.
Durante a segunda metade do século XIX, John Stuart Glashan, George Paxton Young e Carl Runge forneceram a seguinte parametrização: uma quíntica irredutível com coeficientes racionais na forma de Bring-Jerrard é solúvel se e somente se ou puder ser escrita como
onde e são racionais.
Em 1994, Blair Spearman e Kenneth S. Williams forneceram uma alternativa,
A relação entre as parametrizações de 1885 e 1994 pode ser vista definindo a expressão
onde . O uso do caso negativo da raiz quadrada produz, após o escalonamento das variáveis, a primeira parametrização, enquanto o caso positivo fornece a segunda.
A substituição na parametrização de Spearman-Williams permite não excluir o caso especial , produzindo o seguinte resultado:
Se e são números racionais, a equação é solúvel por radicais se o seu lado esquerdo for um produto de polinômios de grau inferior a 5 com coeficientes racionais ou existirem dois números racionais ℓ e tais que
Raízes de uma quíntica solúvel Uma equação polinomial é solúvel por radicais se o seu grupo de Galois for um grupo solúvel. No caso de quínticas irredutíveis, o grupo de Galois é um subgrupo do grupo simétrico de todas as permutações de um conjunto de cinco elementos, que é solúvel se e somente se for um subgrupo do grupo , de ordem , gerado pelas permutações cíclicas e .
Se a quíntica é solúvel, uma das soluções pode ser representada por uma expressão algébrica envolvendo uma raiz quinta e, no máximo, duas raízes quadradas, geralmente aninhadas. As outras soluções podem então ser obtidas seja alterando a raiz quinta ou multiplicando todas as ocorrências da raiz quinta pela mesma potência de uma raiz quinta primitiva da unidade, tal como
De fato, todas as quatro raízes quintas primitivas da unidade podem ser obtidas alterando apropriadamente os sinais das raízes quadradas; a saber, a expressão
onde , produz as quatro distintas raízes quintas primitivas da unidade.
Segue que pode-se precisar de quatro raízes quadradas diferentes para escrever todas as raízes de uma quíntica solúvel. Mesmo para a primeira raiz que envolve no máximo duas raízes quadradas, a expressão das soluções em termos de radicais é geralmente muito complicada. No entanto, quando não é necessária nenhuma raiz quadrada, a forma da primeira solução pode ser bastante simples, como na equação , para a qual a única solução real é
Um exemplo de uma solução mais complicada (embora pequena o suficiente para ser escrita aqui) é a única raiz real de . Seja , e , onde é a proporção áurea. Então a única solução real é dada por
ou, de forma equivalente, por
onde os são as quatro raízes da equação quártica
De modo mais geral, se uma equação de grau primo com coeficientes racionais for solúvel em radicais, então pode-se definir uma equação auxiliar de grau , também com coeficientes racionais, de tal forma que cada raiz de seja a soma das raízes de índice das raízes de . Estas raízes de índice foram introduzidas por Joseph-Louis Lagrange, e seus produtos por são comumente chamados de resolventes de Lagrange. O cálculo de e de suas raízes pode ser usado para resolver . Contudo, estas raízes de índice não podem ser calculadas de forma independente (isto forneceria raízes em vez de ). Assim, uma solução correta necessita expressar todas estas raízes- em termos de uma delas. A teoria de Galois mostra que isto é sempre teoricamente possível, ainda que a fórmula resultante possa ser extensa demais para ter qualquer uso prático.
É possível que algumas das raízes de sejam racionais (como no primeiro exemplo desta seção) ou que algumas sejam zero. Nestes casos, a fórmula para as raízes é muito mais simples, como na quíntica solúvel de de Moivre
onde a equação auxiliar tem duas raízes nulas e reduz-se, fatorando-as, à equação quadrática
de tal modo que as cinco raízes da quíntica de de Moivre são dadas por
onde yi é qualquer raiz da equação quadrática auxiliar e ω é qualquer uma das quatro raízes quintas primitivas da unidade. Isso pode ser facilmente generalizado para construir uma séptica solúvel e outros graus ímpares, não necessariamente primos.
Outras quínticas solúveis
Existem infinitas quínticas solúveis na forma de Bring-Jerrard que foram parametrizadas numa seção anterior.
A menos de um escalonamento da variável, existem exatamente cinco quínticas solúveis da forma , que são (onde s é um fator de escala):
Paxton Young (1888) forneceu uma série de exemplos de quínticas solúveis:
| || Raiz:
Uma sequência infinita de quínticas solúveis pode ser construída, cujas raízes são somas de raízes n-ésimas da unidade, sendo um número primo:
| || || Raízes: |- | || || Raiz: |- | || || Raiz:
Há também duas famílias parametrizadas de quínticas solúveis: A quíntica de Kondo-Brumer,
e a família que depende dos parâmetros
onde
Casus irreducibilis
De forma análoga às equações cúbicas, existem quínticas solúveis que possuem cinco raízes reais em que todas as soluções em radicais envolvem raízes de números complexos. Este é o casus irreducibilis para a quíntica, que é discutido em Dummit.David S. Dummit Solving Solvable Quintics De fato, se uma quíntica irredutível tiver todas as raízes reais, nenhuma raiz poderá ser expressa puramente em termos de radicais reais (como é o caso de todos os graus de polinômios que não são potências de 2).
Além dos radicais
Por volta de 1835, Jerrard demonstrou que as quínticas podem ser resolvidas usando ultrarradicais (também conhecidos como radicais de Bring), a única raiz real de para números reais . Em 1858, Charles Hermite mostrou que o radical de Bring poderia ser caracterizado em termos das funções teta de Jacobi e de suas funções modulares elípticas associadas, usando uma abordagem semelhante à abordagem mais familiar de resolver equações cúbicas por meio de funções trigonométricas. Quase ao mesmo tempo, Leopold Kronecker, usando a teoria dos grupos, desenvolveu uma forma mais simples de derivar o resultado de Hermite, assim como havia feito Francesco Brioschi. Mais tarde, Felix Klein propôs um método que relaciona as simetrias do icosaedro, a teoria de Galois e as funções modulares elípticas que figuram na solução de Hermite, dando uma explicação sobre o porquê elas aparecem, e desenvolveu sua própria solução em termos de funções hipergeométricas generalizadas.; uma exposição moderna é fornecida em Fenômenos semelhantes ocorrem no grau (equações sépticas) e , conforme estudado por Klein e discutido em Geometrias relacionadas.
Resolvendo com radicais de Bring
Uma Transformação de Tschirnhaus, que pode ser calculada resolvendo-se uma equação quártica, reduz a equação quíntica geral da forma
à forma normal de Bring-Jerrard .
As raízes desta equação não podem ser expressas por radicais. Contudo, em 1858, Charles Hermite publicou a primeira solução conhecida desta equação em termos de funções elípticas. Aproximadamente na mesma época, Francesco Brioschi e Leopold Kronecker chegaram a soluções equivalentes.
Veja Radical de Bring para detalhes sobre estas soluções e algumas relacionadas.
Aplicação à mecânica celeste Calcular as localizações dos pontos de Lagrange de uma órbita astronômica onde as massas de ambos os objetos são não desprezíveis envolve a resolução de uma quíntica.