thumb|right|Uma função diferenciável Na matemática, uma função diferenciável de uma variável real é uma função cuja derivada existe em cada ponto do seu domínio. Em outras palavras, o gráfico de uma função diferenciável possui uma reta tangente não-vertical em cada ponto interior de seu domínio. Uma função diferenciável é suave (a função é localmente bem aproximada por uma função linear em cada ponto interior) e não contém interrupções, ângulosou cúspides.
Se é um ponto interior no domínio de uma função , então diz-se que é diferenciável em se a derivada existir. Em outras palavras, o gráfico de tem uma reta tangente não vertical no ponto . Diz-se que é diferenciável em se for diferenciável em cada ponto de . Diz-se que é continuamente diferenciável se sua derivada também for uma função contínua em todo o domínio da função . De modo geral, diz-se que é de classe se suas primeiras derivadas existirem e forem contínuas no domínio da função .
Para uma função multivariável, como mostrado aqui, a diferenciabilidade é algo mais complexo do que a simples existência das suas derivadas parciais.
Diferenciabilidade de funções reais de uma variável
Uma função , definida em um conjunto aberto , é dita diferenciável em se a derivada
existir. Isso implica que a função é contínua em .
Diz-se que esta função é diferenciável em se for diferenciável em todos os pontos de . Neste caso, a derivada de é, portanto, uma função de em
Uma função contínua não é necessariamente diferenciável, mas uma função diferenciável é necessariamente contínua (em todos os pontos onde é diferenciável), como mostrado abaixo (na seção Diferenciabilidade e continuidade). Diz-se que uma função é continuamente diferenciável se sua derivada também for uma função contínua; existem funções que são diferenciáveis, mas não continuamente diferenciáveis (um exemplo é dado na seção Classes de diferenciabilidade).
Semidiferenciabilidade
A definição acima pode ser estendida para definir a derivada em pontos de fronteira do domínio que também pertencem ao domínio. A derivada de uma função definida em um subconjunto fechado dos números reais, avaliada em um ponto de fronteira , pode ser definida como o seguinte limite lateral, onde o argumento se aproxima de de modo que esteja sempre dentro de :
Para que permaneça dentro de , que é um subconjunto dos reais, segue-se que este limite será definido como:
Diferenciabilidade e continuidade
left|thumb|A função valor absoluto é contínua (ou seja, não possui lacunas). Ela é diferenciável em todos os lugares, exceto no ponto = 0, onde faz uma curva acentuada ao cruzar o eixo . thumb|right|Uma cúspide no gráfico de uma função contínua. Em zero, a função é contínua, mas não diferenciável. Se é diferenciável em um ponto , então também deve ser contínua em . Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. O inverso não é verdadeiro: uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com uma dobra, cúspide ou tangente vertical pode ser contínua, mas falha em ser diferenciável no local da anomalia.
A maioria das funções que ocorrem na prática possuem derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No entanto, um resultado de Stefan Banach afirma que o conjunto de funções que possuem derivada em algum ponto é um conjunto de primeira categoria no espaço de todas as funções contínuas.. Citado por Informalmente, isso significa que as funções diferenciáveis são muito atípicas entre as funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função que é contínua em todos os lugares, mas diferenciável em lugar nenhum, é a Função de Weierstrass.
Classes de diferenciabilidade 300px|thumb|Funções diferenciáveis podem ser aproximadas localmente por funções lineares. thumb|300px|A função com para e é diferenciável. No entanto, esta função não é continuamente diferenciável.
Uma função é dita continuamente diferenciável se a derivada existir e for, ela mesma, uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha uma descontinuidade de salto, é possível que a derivada tenha uma descontinuidade essencial. Por exemplo, a função
é diferenciável em 0, pois
existe. No entanto, para as regras de diferenciação implicam
que não possui limite quando Assim, este exemplo mostra a existência de uma função que é diferenciável, mas não continuamente diferenciável (ou seja, a derivada não é uma função contínua). No entanto, o teorema de Darboux implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do Teorema do valor intermediário.
De forma semelhante a como funções contínuas são ditas de funções continuamente diferenciáveis são às vezes ditas de . Uma função é de se a primeira e a segunda derivada da função existirem e forem contínuas. Mais geralmente, diz-se que uma função é de se as primeiras derivadas existirem e forem contínuas. Se as derivadas existirem para todos os inteiros positivos a função é suave ou, equivalentemente, de
Diferenciabilidade em dimensões superiores
Uma função de várias variáveis reais é dita diferenciável em um ponto se existir uma aplicação linear tal que
Se uma função é diferenciável em , então todas as derivadas parciais existem em , e a aplicação linear é dada pela Matriz jacobiana, uma matriz n × m neste caso. Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo Lema do incremento fundamental encontrado no cálculo de uma única variável.
Se todas as derivadas parciais de uma função existem em uma vizinhança de um ponto e são contínuas no ponto , então a função é diferenciável nesse ponto .
No entanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direcionais) não garante que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função definida por
não é diferenciável em , mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função
não é diferenciável em , mas, novamente, todas as derivadas parciais e direcionais existem.
Diferenciabilidade em análise complexa
Na análise complexa, a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição das funções reais de uma única variável. Isso é permitido pela possibilidade de divisão de números complexos. Assim, uma função é dita diferenciável em quando
Embora esta definição pareça semelhante à diferenciabilidade de funções reais de uma variável, ela é, no entanto, uma condição mais restritiva. Uma função que é complexo-diferenciável em um ponto é automaticamente diferenciável nesse ponto quando vista como uma função . Isso ocorre porque a diferenciabilidade complexa implica que
No entanto, uma função pode ser diferenciável como uma função multivariável, sem ser complexo-diferenciável. Por exemplo, é diferenciável em todos os pontos, vista como a função real de 2 variáveis , mas não é complexo-diferenciável em nenhum ponto porque o limite resulta em valores diferentes para diferentes caminhos de aproximação a 0.
Qualquer função que seja complexo-diferenciável em uma vizinhança de um ponto é chamada de holomorfa nesse ponto. Tal função é necessariamente infinitamente diferenciável e, de fato, analítica.
Funções diferenciáveis em variedades
Se M é uma variedade diferenciável, uma função f de valor real ou complexo em M é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) mapa de coordenadas definido em torno de p. Se M e N são variedades diferenciáveis, uma função f: M → N é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a alguns (ou quaisquer) mapas de coordenadas definidos em torno de p e f(p).
Ver também Generalizações da derivada Programação diferenciável Semidiferenciabilidade
Referências
Categoria:Cálculo multivariável Categoria:Funções suaves Categoria:Análise real Categoria:Cálculo diferencial Categoria:Geometria diferencial