Função holomorfa

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo com valores em que são diferenciáveis em cada ponto.Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto " significa não só diferenciável em , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em , no plano complexo.

Introdução

Números complexos

Os números complexos expandem o domínio dos números reais através da adição dos chamados números imaginários. Estes devem ter a propriedade de resolver equações algébricas que não têm solução nos reais. Um exemplo é a equação quadrática . Esta não possui uma solução real, uma vez que o quadrado de um número real é sempre não negativo. Contudo, se adicionarmos aos números reais um número imaginário com a propriedade , a equação acima pode ser resolvida.

[Image of complex plane with real and imaginary axes] direita|miniaturadaimagem|Os números complexos formam um plano. Nele existe a "direção real" (rótulo do eixo: Re) e a "direção imaginária" (rótulo do eixo: Im). Enquanto os números reais formam uma reta numérica, os números complexos estendem-se por um plano. Cada número complexo é da forma com números reais e . Se percorrermos passos na "direção real" e passos na "direção imaginária", o número complexo é identificado com o ponto no plano euclidiano. Nisto, é designado por parte real e por parte imaginária de .

Uma propriedade importante dos números complexos é que é possível fazer cálculos com eles da mesma forma que com os números reais. Isto significa que a adição, subtração, multiplicação e divisão também estão definidas para os números complexos. Para aplicar isto, basta dominar as regras de cálculo dos reais, bem como a regra . A adição é executada separadamente na parte real e na parte imaginária, como por exemplo , e na multiplicação é necessário expandir os parênteses:

O termo surge na expansão a partir do produto . A divisão também é possível, por exemplo, tornando o denominador real através de uma expansão adequada utilizando a diferença de quadrados (terceira fórmula binomial):

Deste modo, os números complexos formam também uma estrutura numérica na qual se pode calcular algebricamente. Diz-se também que o conjunto dos números complexos , tal como os números reais , formam um corpo.

Funções complexas

A holomorfia é uma propriedade de funções complexas. De forma muito geral, uma função estabelece uma relação entre dois conjuntos e através de uma regra de correspondência. As funções têm de satisfazer a regra de que a cada elemento de é atribuído exatamente um elemento em .

Alguns exemplos de funções reais podem ser transferidos diretamente para os números complexos. Entre estes encontra-se, por exemplo, a função quadrática . miniaturadaimagem|177x177px|Gráfico da regra real As funções reais induzem dados tabulares da forma , onde os valores de entrada percorrem o domínio de . A analogia com uma Tabela surge do facto de os dados e poderem ser compilados em formato de linha ou coluna. No entanto, não é possível inserir todos os valores de uma função real numa tabela, visto que, por exemplo, já não é possível listar todos os valores . Todos os intervalos reais não vazios são não enumeráveis. Por conseguinte, a representação de uma função real através de um gráfico é comum. Para isso, tira-se partido de o domínio ser uma parte de uma reta numérica, bem como o contradomínio. Logo, a informação reúne-se em pontos num plano bidimensional. Se os destacarmos no plano, obtemos uma visão geral do comportamento de uma função real.

Para as funções complexas, a situação é diferente. Aqui o domínio de entrada já é uma superfície. Portanto, um gráfico ao estilo das funções reais teria de ser tetradimensional, o que não é representável de forma compreensível.Elias Wegert: Visualization of Complex Functions – Plea for the Phase Plot –, Technical University Freiberg, 2009, p. 1. Uma via para representar funções complexas, em particular as holomorfas, socorre-se de um código de cores.

Atribui-se a um número complexo uma cor, dependendo do seu "ponto cardeal" (fase/argumento), em que a origem, ou seja, o zero, forma o ponto de referência. Adicionalmente, a magnitude (módulo) em termos de distância à origem é visualizada através da luminosidade da tonalidade da cor. "Escuro" significa perto de zero, e "claro" significa perto de "infinito".A representação de funções complexas através de coloração é particularmente habitual para realçar zeros ou polos, bem como outras singularidades de uma função.Elias Wegert: Visualization of Complex Functions – Plea for the Phase Plot –, Technical University Freiberg, 2009, pp. 3–4. O software Wolfram Mathematica oferece uma ferramenta correspondente desde a versão 12.Wolfram Language. 2019. ComplexPlot. Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Modificado pela última vez em 2020, acedido em 12 de setembro de 2021.

Em inglês, este tipo de visualização tem a designação domain coloring (coloração de domínio). Esta foi cunhada por Frank Farris.Frank A. Farris, , acedido em 12 de setembro de 2021. Houve muitas utilizações anteriores de cor para visualizar funções complexas, tipicamente a atribuição de argumentos (fases) a tonalidades de cor. Larry Crone utilizou o método no final da década de 1980. A técnica da utilização de cor contínua para mapear pontos do domínio no contradomínio foi utilizada em 1999 por George Abdo e Paul Godfrey, e grelhas coloridas foram usadas em gráficos por Doug Arnold, que ele data de 1997. No entanto, as pessoas com daltonismo podem ter dificuldade em interpretar tais diagramas quando estes são criados com mapas de cores padrão. Este problema pode possivelmente ser atenuado através da criação de versões alternativas utilizando mapas de cores que se adequam ao espaço de cores reconhecível para pessoas daltónicas. Por exemplo, um mapa de cores baseado em azul/cinzento/amarelo pode ser mais legível para pessoas com Deuteranopia total do que o gráfico convencional baseado em azul/verde/vermelho.

Da diferenciabilidade real à complexa

miniaturadaimagem|209x209px|Nos números reais, só é possível aproximar-se no quociente de diferenças por dois lados: um número diferente de situa-se ou à esquerda ou à direita de na reta numérica. Neste gráfico ilustra-se a aproximação pela direita. Como os cálculos com números complexos podem ser feitos essencialmente da mesma forma que com números reais, coloca-se a questão de até que ponto a análise real, com conceitos como funções, derivadas ou mesmo integrais, pode ser estendida aos números complexos.

Nos números reais, uma função é diferenciável (derivável) num ponto se puder ser linearizada nesse ponto. Isto significa que, à volta de , ela comporta-se de forma muito semelhante a uma função linear . Portanto, para valores de muito pequenos, aplica-se a aproximação , onde com se obtém também . Para definir com precisão os conceitos de "linearização", "muito semelhante" e "aproximação", recorre-se ao conceito de limite. Por conseguinte, é diferenciável em se e só se o quociente de diferenças

existir, o qual também é designado como a derivada de no ponto . Visto que o cálculo deste quociente apenas utiliza as operações aritméticas elementares de adição, subtração e divisão, coloca-se a questão de um análogo no domínio complexo. Uma vez que os números complexos também permitem estes cálculos, a condição

existir

pode ser adotada integralmente. A diferença fundamental aqui, no entanto, é que ao calcular o quociente de diferenças complexo, o que se torna cada vez menor pode ser um número complexo. Logo, a aproximação pode ser feita a partir de qualquer direção no plano complexo. Em contraste, nos números reais, apenas um número finito, nomeadamente duas direções, são possíveis: pela esquerda () e pela direita ().

Para a compreensão da diferenciabilidade complexa é essencial percecionar o domínio da função complexa também de forma geométrica. Os valores de entrada na função não são assim apenas números complexos, mas também pontos de um plano. Neste plano está definido um conceito de distância, pelo que os pontos podem estar "perto" e "longe" de outros pontos. Só esta perspetiva permite a formulação do conceito de localidade, que é essencial para a diferenciabilidade: Uma função complexamente diferenciável num ponto parece "muito semelhante" a uma função linear em pontos muito próximos de . É precisamente esta afirmação que é precisada analiticamente pelo quociente diferencial. Após manipular a equação do quociente diferencial, obtém-se

sendo o erro nesta aproximação "muito menor" do que o valor "pequeno" .

Ilustração

Sobre o conceito de holomorfia Dizer que uma função complexa é holomorfa no seu domínio de definição significa que ela é complexamente diferenciável em cada ponto. Devido à condição já por si restritiva da diferenciabilidade complexa (em vez de apenas real), aliada à sua validade para todos os pontos numa superfície em vez de apenas num intervalo (uma linha), a holomorfia é uma propriedade extremamente forte.

Motivação analítica Um problema central da análise consiste em estudar funções "complicadas". Aqui, "complicada" significa, por exemplo, que a regra de cálculo não consiste numa sequência finita de aplicações das quatro operações aritméticas básicas. Uma regra "simples" neste sentido seria: multiplica o número de entrada por dois, soma um ao resultado, multiplica isto por si mesmo e divide tudo por três. Em forma abreviada: .

No entanto, muitíssimos fenómenos na natureza não se deixam descrever de forma tão simples. A matemática procura, portanto, desenvolver métodos de análise para funções não triviais. Tais métodos são utilizados, por exemplo, quando é necessário estabelecer taxas de variação em leis da natureza ou balanços na economia. Uma possibilidade consiste em restringir inicialmente a função de forma muito acentuada, ou seja, utilizar apenas valores de entrada de um conjunto muito "pequeno". Pequeno, neste contexto, significa que os valores de entrada considerados estão muito próximos uns dos outros. Se uma função deve ser estudada, por exemplo, em torno de 0, valores como 0,000001 poderiam possivelmente ser considerados, mas possivelmente já não o 1, muito menos o 100. Neste contexto, chama-se ao 0 o ponto de expansão (ou centro de desenvolvimento). Fenómenos como a holomorfia indicam agora que as funções afetadas, em regiões muito pequenas, se assemelham fortemente a funções muito mais compreensíveis. Estas funções mais compreensíveis são regras que se compõem apenas das quatro operações aritméticas básicas. Por trás deste princípio reside uma certa forma de "continuidade": se uma função holomorfa foi bem compreendida no ponto 0, então já se pode concluir o seu comportamento em, por exemplo, 0,000001, e isto apenas com base nas quatro operações básicas. Mais precisamente, a aproximação é realizada através de polinómios, ou seja, expressões como , e, de forma geral,