miniaturadaimagem|Fotografia de Chauchy A desigualdade de Cauchy–Schwarz (também chamada de desigualdade de Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz) é um limite superior para o valor absoluto do produto interno entre dois vetores em um espaço com produto interno em termos do produto das normas dos vetores. É considerada uma das desigualdades mais importantes e amplamente utilizadas na matemática.

Os produtos internos de vetores podem descrever somas finitas (via espaços vetoriais de dimensão finita), séries infinitas (via vetores em espaços de sequências) e integrais (via vetores em espaços de Hilbert). A desigualdade para somas foi publicada por . A desigualdade correspondente para integrais foi publicada por e . Schwarz deu a prova moderna da versão integral.

Enunciado da desigualdade A desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma que para todos os vetores e de um espaço com produto interno

onde é o produto interno. Exemplos de produtos internos incluem o produto escalar real e complexo; veja os exemplos em produto interno. Todo produto interno dá origem a uma norma euclidiana , chamada de ou , onde a norma de um vetor é denotada e definida por onde é sempre um número real não negativo (mesmo que o produto interno seja de valor complexo). Tomando a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade acima, a desigualdade de Cauchy–Schwarz pode ser escrita em sua forma mais familiar em termos da norma:

Além disso, os dois lados são iguais se e somente se e são linearmente dependentes.

Casos especiais

Lema de Sedrakyan – números reais positivos A desigualdade de Sedrakyan, também conhecida como desigualdade de Bergström, forma de Engel, lema de Titu (ou lema T2), afirma que para números reais e números reais positivos :

ou, usando notação de somatório,

É uma consequência direta da desigualdade de Cauchy–Schwarz, obtida usando o produto escalar em ao substituir e . Esta forma é especialmente útil quando a desigualdade envolve frações cujo numerador é um quadrado perfeito.

- O plano thumb| O espaço vetorial real denota o plano bidimensional. É também o espaço euclidiano bidimensional onde o produto interno é o produto escalar. Se e então a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna:

onde é o ângulo entre e .

A forma apresentada aqui é talvez a mais fácil de entender a desigualdade, pois o quadrado do cosseno pode ser no máximo 1, o que ocorre quando os vetores estão na mesma direção ou em direções opostas. Também pode ser reescrita em termos das coordenadas dos vetores , , e como

onde a igualdade vale se e somente se o vetor está na mesma direção ou em direção oposta ao vetor , ou se um deles é o vetor nulo.

: espaço euclidiano n-dimensional No espaço euclidiano com o produto interno padrão, que é o produto escalar, a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna:

A desigualdade de Cauchy–Schwarz pode ser provada usando apenas álgebra elementar neste caso, observando que a diferença entre o lado direito e o lado esquerdo é

ou considerando o seguinte polinômio quadrático em

Como o último polinômio é não negativo, ele tem no máximo uma raiz real, portanto seu discriminante é menor ou igual a zero. Isto é,

: espaço complexo n-dimensional Se com e (onde e ) e se o produto interno no espaço vetorial é o produto interno complexo canônico (definido por onde a barra é usada para conjugação complexa), então a desigualdade pode ser reescrita mais explicitamente como segue:

Isto é,

Para o espaço com produto interno de funções de quadrado integrável de valor complexo, vale a seguinte desigualdade.

A desigualdade de Hölder é uma generalização desta.

Aplicações

Análise Em qualquer espaço com produto interno, a desigualdade triangular é uma consequência da desigualdade de Cauchy–Schwarz, como agora é mostrado:

Tomando raízes quadradas obtém-se a desigualdade triangular:

A desigualdade de Cauchy–Schwarz é usada para provar que o produto interno é uma função contínua com respeito à topologia induzida pelo próprio produto interno.

Geometria A desigualdade de Cauchy–Schwarz permite estender a noção de "ângulo entre dois vetores" a qualquer espaço com produto interno real definindo:

A desigualdade de Cauchy–Schwarz prova que esta definição é sensata, mostrando que o lado direito está no intervalo e justifica a noção de que os espaços de Hilbert (reais) são simplesmente generalizações do espaço euclidiano. Também pode ser usada para definir um ângulo em espaços com produto interno complexos, tomando o valor absoluto ou a parte real do lado direito, como é feito ao extrair uma métrica da fidelidade quântica.

Álgebra linear A desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser usada para provar o teorema espectral para operadores auto-adjuntos no caso de dimensão finita.

Seja um operador auto-adjunto em um espaço com produto interno de dimensão finita e um vetor não nulo que maximiza . A existência de é garantida pelo teorema de Heine-Borel. Se então é um autovetor de . Caso contrário, a propriedade de maximização de implica que Na outra direção, a desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que portanto a igualdade vale. Pela caracterização da igualdade, e são linearmente dependentes, portanto é um autovetor de . A partir daí é direto deduzir que tem um autovetor; então o teorema espectral segue tomando o complemento ortogonal e argumentando por indução na dimensão do espaço com produto interno.

Teoria das probabilidades

Sejam e variáveis aleatórias. Então a desigualdade da covariância é dada por:

Após definir um produto interno no conjunto das variáveis aleatórias usando a esperança de seu produto,

a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna

Para provar a desigualdade da covariância usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, sejam e então

onde denota variância e denota covariância.

Teoria dos grafos Na teoria dos grafos extremal, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é usada para provar o teorema de Mantel, que afirma que o número de arestas em um grafo sem triângulos com vértices é limitado superiormente por arestas.

Considere dois vértices adjacentes quaisquer e no grafo com graus e respectivamente. Como o grafo não tem triângulos, as vizinhanças de e são disjuntas, o que dá . Somando esta desigualdade sobre todos os vértices obtém-se o seguinte.

Então somamos sobre vértices em vez de arestas.

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtém-se a seguinte desigualdade relacionando a soma dos quadrados dos graus com a soma dos graus.

Encadeando as duas desigualdades anteriores, obtemos:

E então, aplicando o lema do aperto de mãos e rearranjando, temos que:

Provas

Existem muitas provas diferentes da desigualdade de Cauchy–Schwarz além das apresentadas abaixo. Ao consultar outras fontes, há frequentemente duas fontes de confusão. Primeiro, alguns autores definem como linear no segundo argumento em vez do primeiro. Segundo, algumas provas são válidas apenas quando o corpo é e não

Esta seção apresenta duas provas do seguinte teorema:

Em ambas as provas apresentadas abaixo, a prova no caso trivial em que pelo menos um dos vetores é zero (ou equivalentemente, no caso em que ) é a mesma. É apresentada imediatamente abaixo apenas uma vez para reduzir a repetição. Também inclui a parte fácil da prova da Caracterização da Igualdade dada acima; ou seja, prova que se e são linearmente dependentes então

Por definição, e são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Se onde é algum escalar então

o que mostra que a igualdade vale na . O caso em que para algum escalar segue do caso anterior:

Em particular, se pelo menos um de e é o vetor nulo então e são necessariamente linearmente dependentes (por exemplo, se então onde ), então o cálculo acima mostra que a desigualdade de Cauchy–Schwarz vale neste caso.

Consequentemente, a desigualdade de Cauchy–Schwarz só precisa ser provada para vetores não nulos e também apenas a direção não trivial da Caracterização da Igualdade deve ser mostrada.

Prova via projeção ortogonal

O caso especial de foi provado acima, portanto assume-se doravante que thumb|Desigualdade de Cauchy-Schwarz como consequência do teorema de Pitágoras Seja Se olharmos para o seu comprimento, veremosComo o comprimento de qualquer vetor é sempre não negativo, obtemosA desigualdade de Cauchy–Schwarz segue multiplicando por e então tirando a raiz quadrada. Além disso, se a relação na expressão acima é na verdade uma igualdade, então e portanto a definição de então estabelece uma relação de dependência linear entre e A recíproca foi provada no início desta seção, portanto a prova está completa.

Prova analisando um quadrático

Considere um par arbitrário de vetores . Defina a função definida por , onde é um número complexo satisfazendo e . Tal existe pois se então pode ser tomado como 1.

Como o produto interno é definido positivo, assume apenas valores reais não negativos. Por outro lado, pode ser expandido usando a bilinearidade do produto interno:

Assim, é um polinômio de grau (a menos que que é um caso já verificado anteriormente). Como o sinal de não muda, o discriminante deste polinômio deve ser não positivo:

A conclusão segue.

Para o caso da igualdade, observe que acontece se e somente se Se então e portanto

Generalizações Existem várias generalizações da desigualdade de Cauchy–Schwarz. A desigualdade de Hölder a generaliza para normas . Mais geralmente, pode ser interpretada como um caso especial da definição da norma de um operador linear em um espaço de Banach (nomeadamente, quando o espaço é um espaço de Hilbert). Generalizações adicionais estão no contexto da teoria de operadores, por exemplo, para funções convexas de operadores e álgebras de operadores, onde o domínio e/ou a imagem são substituídos por uma C*-álgebra ou W*-álgebra.

Um produto interno pode ser usado para definir um funcional linear positivo. Por exemplo, dado um espaço de Hilbert sendo uma medida finita, o produto interno padrão dá origem a um funcional positivo por Reciprocamente, todo funcional linear positivo em pode ser usado para definir um produto interno onde é o conjugado complexo pontual de Nesta linguagem, a desigualdade de Cauchy–Schwarz se torna

que se estende literalmente a funcionais positivos em C*-álgebras:

Os próximos dois teoremas são exemplos adicionais em álgebra de operadores.

Isto estende o fato quando é um funcional linear. O caso em que é auto-adjunto, isto é, é às vezes conhecido como desigualdade de Kadison.

Outra generalização é um refinamento obtido por interpolação entre ambos os lados da desigualdade de Cauchy–Schwarz:

Este teorema pode ser deduzido da desigualdade de Hölder. Existem também versões não comutativas para operadores e produtos tensoriais de matrizes.

Várias versões matriciais da desigualdade de Cauchy–Schwarz e da desigualdade de Kantorovich são aplicadas a modelos de regressão linear.

Ver também

Desigualdade de Bessel Desigualdade de Hölder Desigualdade de Jensen Desigualdade de Kantorovich Desigualdade de Kunita–Watanabe Identidade de Lagrange Desigualdade de Minkowski Desigualdade de Paley–Zygmund

Referências

Bibliografia

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Ligações externas

Earliest Uses: A entrada sobre a desigualdade de Cauchy–Schwarz tem algumas informações históricas. Exemplo de aplicação da desigualdade de Cauchy–Schwarz para determinar vetores linearmente independentes Tutorial e programa interativo.

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