direita|Desenvolvimento do círculo unitário no espaço euclidiano , com quatro escolhas distintas de conexões planas que preservam a métrica euclidiana, definidas por , onde é um escalar constante, respectivamente: . As curvas resultantes possuem comprimento de arco , curvatura e respectiva torção (no sentido de Frenet–Serret).|alt=Desenvolvimento do círculo unitário no espaço euclidiano R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , com quatro escolhas distintas de conexões planas que preservam a métrica euclidiana, definidas por ∇ e i e j = τ e i × e j {\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}} , onde τ {\displaystyle \tau } é um escalar constante, respectivamente: τ = 0 , 01 ;   0 , 1 ;   0 , 5 ;   1 , 0 {\displaystyle \tau =0{,}01;\ 0{,}1;\ 0{,}5;\ 1{,}0} . As curvas resultantes possuem comprimento de arco 2 π {\displaystyle 2\pi } , curvatura 1 {\displaystyle 1} e respectiva torção τ {\displaystyle \tau } (no sentido de Frenet–Serret).|400x400px

Na geometria diferencial, o tensor de torção é um tensor associado a qualquer conexão afim. O tensor de torção é uma aplicação bilinear de dois vetores de entrada , que produz um vetor de saída representando o deslocamento dentro de um espaço tangente quando o espaço tangente é desenvolvido (ou "rolado") ao longo de um paralelogramo infinitesimal cujos lados são . Ele é antissimétrico em suas entradas, porque o desenvolvimento sobre o paralelogramo no sentido oposto produz o deslocamento oposto, de maneira análoga a como um parafuso se move em sentidos opostos quando é girado em duas direções contrárias.

A torção é particularmente útil no estudo da geometria das geodésicas. Dado um sistema de geodésicas parametrizadas, é possível especificar uma classe de conexões afins que compartilham essas geodésicas, mas que diferem por suas torções. Existe uma única conexão que absorve a torção, generalizando a conexão de Levi-Civita para outras situações, possivelmente não métricas (como a geometria de Finsler). A diferença entre uma conexão com torção e a conexão correspondente sem torção é um tensor, denominado tensor de contorção. A absorção da torção também desempenha um papel fundamental no estudo de G-estruturas e no método de equivalência de Cartan. A torção também é útil no estudo de famílias não parametrizadas de geodésicas, por meio da conexão projetiva associada. Na teoria da relatividade, tais ideias foram implementadas na forma da teoria de Einstein-Cartan.

Definição Seja M uma variedade com uma conexão afim sobre o fibrado tangente (também conhecida como derivada covariante) . O tensor de torção (por vezes denominado tensor (de torção) de Cartan) de é a 2-forma com valores vetoriais definida sobre os campos vetoriais X e Y por, Capítulo III, Teorema 5.1

onde é o colchete de Lie de dois campos vetoriais. Pela regra de Leibniz, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y) para qualquer função suave f. Logo, T é tensorial, apesar de ser definido em termos da conexão, que é um operador diferencial de primeira ordem: ele produz uma 2-forma sobre vetores tangentes, ao passo que a derivada covariante é definida apenas para campos vetoriais.

Componentes do tensor de torção As componentes do tensor de torção em termos de uma base local de seções do fibrado tangente podem ser obtidas definindo , e introduzindo os coeficientes do comutador . As componentes da torção são então dadas por, Capítulo III, Proposição 7.6

Aqui, são os coeficientes de conexão que definem a conexão. Se a base for holonômica, os colchetes de Lie se anulam, . Logo, . Em particular (veja abaixo), enquanto as equações geodésicas determinam a parte simétrica da conexão, o tensor de torção determina a sua parte antissimétrica.

A forma de torção A forma de torção, uma caracterização alternativa da torção, aplica-se ao fibrado de referenciais FM da variedade M. Este fibrado principal é equipado com uma forma de conexão ω, uma 1-forma com valores em gl(n) que mapeia vetores verticais para os geradores da ação à direita em gl(n) e entrelaça equivariantemente a ação à direita de GL(n) sobre o fibrado tangente de FM com a representação adjunta em gl(n). O fibrado de referenciais também carrega uma 1-forma canônica θ, com valores em Rn, definida em um referencial (considerado como uma função linear ) por, Capítulo III, Seção 2

onde é a aplicação de projeção do fibrado principal e é o seu empurrão para frente (push-forward). A forma de torção é então dada por, Capítulo III, Teorema 2.4

Equivalentemente, Θ = Dθ, onde D é a derivada covariante exterior determinada pela conexão.

A forma de torção é uma forma tensorial (horizontal) com valores em Rn, o que significa que sob a ação à direita de ela se transforma equivariantemente:

onde atua no lado direito por meio de sua ação canônica sobre Rn.

Forma de torção em um referencial

A forma de torção pode ser expressa em termos de uma forma de conexão na variedade de base M, escrita em um referencial específico do fibrado tangente . A forma de conexão expressa a derivada covariante exterior dessas seções básicas:, Capítulo III, Seção 7

A forma de soldagem para o fibrado tangente (em relação a esse referencial) é a base dual de ei, tal que (o delta de Kronecker). A 2-forma de torção possui então componentes

Na expressão mais à direita,

são as componentes do referencial do tensor de torção, como estabelecido na definição anterior.

Pode-se demonstrar facilmente que Θi se transforma tensorialmente, no sentido de que se um referencial distinto

for adotado para alguma função com valores matriciais invertíveis (gji), então

Em outros termos, Θ é um tensor do tipo (portando um índice contravariante e dois covariantes).

Alternativamente, a forma de soldagem pode ser caracterizada de maneira independente de referencial como a 1-forma com valores em TM θ sobre M, correspondendo ao endomorfismo identidade do fibrado tangente sob o isomorfismo de dualidade . A 2-forma de torção é então uma seção

dada por

onde D é a derivada covariante exterior. (Consulte forma de conexão para detalhes adicionais.)

Decomposição irredutível O tensor de torção pode ser decomposto em duas partes irredutíveis: uma parte sem traço e outra que contém os termos de traço. Utilizando a notação de índices, o traço de T é dado por

e a parte sem traço é

onde δij é o delta de Kronecker.

Intrinsecamente, tem-se

O traço de T, tr T, é um elemento de T∗M definido da seguinte forma: para cada vetor fixo , T define um elemento T(X) de via

Então, (tr T)(X) é definido como o traço deste endomorfismo. Isto é,

A parte sem traço de T é então dada por

onde ι denota o produto interior.

Curvatura e identidades de Bianchi O tensor de curvatura de é uma aplicação definida sobre os campos vetoriais X, Y e Z por

Para vetores em um ponto, essa definição independe de como os vetores são estendidos a campos vetoriais na vizinhança do ponto (definindo assim um tensor, de maneira similar à torção).

As identidades de Bianchi relacionam a curvatura e a torção como segue. Seja a soma cíclica sobre X, Y e Z. Por exemplo:

São válidas as seguintes identidades:

Primeira identidade de Bianchi:

Segunda identidade de Bianchi:

A forma de curvatura e as identidades de Bianchi A forma de curvatura é a 2-forma com valores em gl(n)

onde, novamente, D denota a derivada covariante exterior. Em termos da forma de curvatura e da forma de torção, as identidades de Bianchi correspondentes assumem a forma:

Além disso, é possível recuperar os tensores de curvatura e de torção a partir das respectivas formas da seguinte maneira. Em um ponto u de FxM, tem-se:

onde, novamente, é a função que especifica o referencial na fibra, e a escolha do levantamento dos vetores via π−1 é irrelevante, uma vez que as formas de curvatura e torção são horizontais (anulam-se nos vetores verticais ambíguos).

Caracterizações e interpretações A torção é uma forma de caracterizar a quantidade de deslizamento ou torção que um plano sofre ao rolar sobre uma superfície ou sobre uma variedade afim de dimensão superior.

Como exemplo, considere o rolamento de um plano ao longo de um pequeno círculo traçado sobre uma esfera. Se o plano não deslizar nem torcer, quando o plano completar a volta ao longo do círculo, ele também traçará um círculo no plano. Observa-se que o plano terá sofrido uma rotação (apesar de não haver torção durante o rolamento), efeito que se deve à curvatura da esfera. Porém, a curva traçada ainda será um círculo e, em particular, uma curva fechada que começa e termina no mesmo ponto. Por outro lado, se o plano for rolado sobre a esfera com permissão para deslizar ou torcer durante o processo, a trajetória traçada sobre o plano poderá ser uma curva muito mais geral que não precisa sequer ser fechada. A torção é uma maneira de quantificar esse deslizamento e torção adicionais ao rolar um plano ao longo de uma curva.

Assim, o tensor de torção pode ser compreendido intuitivamente considerando-se um pequeno circuito em paralelogramo com lados dados pelos vetores v e w, em um determinado espaço, rolando o espaço tangente ao longo de cada um dos quatro lados do paralelogramo e marcando o ponto de contato à medida que avança. Quando o circuito é concluído, a curva marcada terá sido deslocada para fora do plano do paralelogramo por um vetor, denotado por . Logo, o tensor de torção é um tensor: uma função (bilinear) de dois vetores de entrada v e w que produz um vetor de saída . Ele é antissimétrico nos argumentos v e w, refletindo o fato de que percorrer o circuito no sentido oposto desfaz o deslocamento original, da mesma forma que girar um parafuso em direções opostas o desloca em sentidos contrários. O tensor de torção, portanto, relaciona-se, embora seja distinto, com a torção de uma curva, tal como surge nas fórmulas de Frenet–Serret: a torção de uma conexão mede o deslocamento de uma curva desenvolvida para fora de seu plano, enquanto a torção de uma curva mede o deslocamento para fora de seu plano osculador. Na geometria de superfícies, a torção geodésica descreve como uma superfície se torce em torno de uma curva sobre ela. A noção associada de curvatura quantifica como referenciais móveis rolam ao longo de uma curva sem deslizar ou torcer.

Exemplo Considere o espaço euclidiano (plano) . Nele, define-se uma conexão plana, mas com torção não nula, definida no referencial euclidiano padrão pelo produto vetorial (euclidiano):Considere agora o transporte paralelo do vetor ao longo do eixo , partindo da origem. O campo vetorial paralelo satisfaz assim e a equação diferencial: Portanto, , e a solução é dada por .

Dessa forma, a extremidade do vetor , à medida que é transportada ao longo do eixo , traça a hélice:Constata-se que, na presença de torção, o transporte paralelo tende a torcer um referencial em torno da direção do movimento, de forma análoga ao papel desempenhado pela torção na geometria diferencial de curvas clássica.

Desenvolvimento Uma interpretação da torção envolve o desenvolvimento de uma curva., Capítulo III, Seção 4 Suponha que seja dado um laço fechado suave por partes , baseado no ponto , onde . Assume-se que seja homotópico a zero. A curva pode ser desenvolvida no espaço tangente em da seguinte maneira. Seja um correferencial paralelo ao longo de e sejam as coordenadas em induzidas por . Um desenvolvimento de é uma curva em cujas coordenadas satisfazem a equação diferencial: Se a torção for nula, a curva desenvolvida também será um laço fechado (de modo que ). Por outro lado, se a torção for não nula, a curva desenvolvida pode não ser fechada, de modo que . Assim, o desenvolvimento de um laço na presença de torção pode sofrer uma discordância, analogamente a uma discordância em hélice.