Em matemática aplicada e estatística, o teorema de Wiener-Khinchin ou teorema de Wiener-Khintchine, também conhecido como teorema de Wiener-Khinchin-Einstein ou teorema de Khinchin-Kolmogorov, afirma que a densidade espectral de potência de um processo estocástico estacionário no sentido amplo é igual à transformada de Fourier da função de autocorrelação desse processo.

História Norbert Wiener demonstrou esse teorema para o caso de uma função determinística em 1930; Aleksandr Khinchin formulou posteriormente um resultado análogo para processos estocásticos estacionários e publicou essa versão probabilística em 1934. Albert Einstein havia apresentado, sem demonstrações, a ideia em um breve memorando de duas páginas em 1914.

Processo de tempo contínuo No caso de tempo contínuo, o teorema de Wiener-Khinchin estabelece que se é um processo aleatório estacionário no sentido amplo cuja função de autocorrelação definida em termos de valor esperado onde o asterisco denota o complexo conjugado, então existe uma função monótona no domínio da frequência ou, equivalentemente, uma medida de Radon não negativa no domínio da frequência, tal que onde a integral é uma integral de Riemann-Stieltjes . Trata-se de um tipo de decomposição espectral da função de autocorrelação. é denominada função de distribuição espectral de potência e é uma função de distribuição estatística. Ela também é, por vezes, denominada espectro integrado.

A transformada de Fourier ordinária de não existe, em geral, pois funções aleatórias normalmente não são absolutamente integráveis . Da mesma forma, não se supõe que seja absolutamente integrável e, portanto, sua transformada de Fourier também não necessariamente existe.

No entanto, se a medida for absolutamente contínua (por exemplo, se o processo for puramente indeterminístico), então é diferenciável em quase toda parte e possui uma derivada de Radon-Nikodym dada por Neste caso, pode-se determinar , a densidade espectral de potência de , tomando-se a média das derivadas laterais de . Como as derivadas à esquerda e à direita de existem em todo ponto, pode-se escrever em todos ponto, obtendo que F é a integral da média de suas derivadas laterais , e o teorema se reduz a Supondo que e sejam suficientemente "bem comportadas" para que o teorema da inversão de Fourier seja válido, o teorema de Wiener-Khinchin assume a forma simples de afirmar que e constituem um par de transformada de Fourier, e

Demonstração pela potência média temporal

Uma demonstração da forma do teorema empregada em processamento de sinais pode ser obtida a partir da potência média temporal esperada. Considere uma realização de um processo aleatório estacionário em sentido amplo. Como uma realização desse processo pode ter duração infinita, define-se inicialmente uma versão truncada do sinal,

onde é uma janela retangular definida por

Seja a transformada de Fourier de ,

Como possui duração finita, sua densidade espectral de energia é dada por

Pelo teorema da correlação da transformada de Fourier, essa quantidade corresponde, no domínio do tempo, à autocorrelação do sinal truncado. Para um processo real, pode-se escrever

Dividindo ambos os lados por , obtém-se

Tomando o valor esperado dos dois lados e utilizando a estacionariedade em sentido amplo,

pois a função de autocorrelação depende apenas da diferença temporal . Assim,

A integral do produto das duas janelas, normalizada por , corresponde a um pulso triangular de altura 1 e largura , afinal é o resultado da convolução das duas janelas. Portanto:

onde

Consequentemente,

Para qualquer valor finito de ,

Tomando o limite quando , segue que

A quantidade no lado direito é a densidade espectral de potência do processo,

Logo,

e, portanto,

que é a forma usual do teorema de Wiener–Khinchin para a densidade espectral de potência.

Processo de tempo discreto Para o caso de tempo discreto, a densidade espectral de potência da função com valores discretos é

onde é a frequência angular, denota a unidade imaginária (em engenharia, é comum representar a unidade imaginária por ) e é a função de autocorrelação discreta de , definida em sua formulação determinística ou estocástica.

Dado que é absolutamente somável, ou seja

O resultado do teorema pode então ser escrito como

Por se tratar de uma sequência de tempo discreto, a densidade espectral é periódica no domínio da frequência. Por essa razão, o domínio da função geralmente se restringe a .

Leitura complementar

Categoria:Teoremas probabilísticos Categoria:Processamento de sinais