Na matemática, os fluxos ergódicos ocorrem na geometria, por meio dos fluxos geodésico e horocíclico de superfícies hiperbólicas fechadas. Ambos os exemplos foram compreendidos em termos da teoria das representações unitárias de grupos localmente compactos: se Γ é o grupo fundamental de uma superfície fechada, considerado como um subgrupo discreto do grupo de Möbius G = PSL(2,R), então o fluxo geodésico e o horocíclico podem ser identificados com as ações naturais dos subgrupos A de matrizes diagonais reais positivas e N de matrizes unitriangulares inferiores sobre o fibrado tangente unitário G / Γ. O teorema de Ambrose-Kakutani expressa todo fluxo ergódico como o fluxo construído a partir de uma transformação ergódica invertível em um espaço de medida utilizando uma função teto (ceiling function). No caso do fluxo geodésico, a transformação ergódica pode ser compreendida em termos da dinâmica simbólica; e em termos das ações ergódicas de Γ sobre a fronteira S1 = G / AN e G / A = S1 × S1 \ diag S1. Os fluxos ergódicos também surgem naturalmente como invariantes na classificação de álgebras de von Neumann: o fluxo de pesos para um fator do tipo III0 é um fluxo ergódico sobre um espaço de medida.
Teorema de Hedlund: ergodicidade dos fluxos geodésico e horocíclico O método que utiliza a teoria de representações baseia-se nos dois seguintes resultados:
Se = atua unitariamente sobre um espaço de Hilbert e é um vetor unitário fixado pelo subgrupo de matrizes unitriangulares superiores, então é fixado por . Se = atua unitariamente sobre um espaço de Hilbert e é um vetor unitário fixado pelo subgrupo de matrizes diagonais de determinante , então é fixado por .
(1) Como um espaço topológico, o espaço homogêneo = pode ser identificado com } com a ação padrão de como matrizes . O subgrupo de possui dois tipos de órbitas: órbitas paralelas ao eixo com ; e pontos sobre o eixo . Uma função contínua em que é constante sobre as órbitas de deve, portanto, ser constante sobre o eixo real com a origem removida. Assim, o coeficiente matricial = satisfaz = para em . Por unitariedade, |||| = = , de modo que = para todo em = = . Seja agora a matriz . Então, como se verifica facilmente, a classe lateral dupla é densa em ; este é um caso especial da decomposição de Bruhat. Como é fixado por , o coeficiente matricial é constante em . Por densidade, = para todo em . O mesmo argumento acima mostra que = para todo em .
(2) Suponha que seja fixado por . Para o grupo unitário a um parâmetro ≅ , seja o subespaço espectral correspondente ao intervalo . Seja a matriz diagonal com entradas e para || . Então . À medida que || tende ao infinito, estas últimas projeções tendem a 0 na topologia forte de operadores se ou . Como = , segue-se que = em ambos os casos. Pelo teorema espectral, segue-se que está no subespaço espectral ; em outras palavras, é fixado por . Mas então, pelo primeiro resultado, deve ser fixado por .
Os teoremas clássicos de Gustav Hedlund do início da década de 1930 afirmam a ergodicidade dos fluxos geodésico e horocíclico correspondentes a superfícies de Riemann compactas de curvatura negativa constante. O teorema de Hedlund pode ser reinterpretado em termos de representações unitárias de e de seus subgrupos. Seja um subgrupo cocompacto de = } para o qual todos os elementos não escalares são hiperbólicos. Seja = , onde é o subgrupo de rotações . O fibrado tangente unitário é = , com o fluxo geodésico dado pela ação à direita de e o fluxo horocíclico pela ação à direita de . Esta ação é ergódica se = , isto é, se as funções fixadas por forem apenas as funções constantes. Como é compacto, este será o caso se = . Seja = . Assim, atua unitariamente sobre à direita. Qualquer não nulo em fixado por deve ser fixado por , pelo segundo resultado acima. Mas, neste caso, se é uma função contínua em de suporte compacto com = , então = . O lado direito é igual a , uma função contínua em . Como é invariante à direita sob , segue-se que é constante, como requerido. Logo, o fluxo geodésico é ergódico. Substituindo por e utilizando o primeiro resultado acima, o mesmo argumento demonstra que o fluxo horocíclico é ergódico.
Teorema de Ambrose−Kakutani–Krengel–Kubo Fluxos induzidos Exemplos de fluxos induzidos a partir de transformações invertíveis não singulares de espaços de medida foram definidos por em sua abordagem via teoria de operadores para a mecânica clássica e a teoria ergódica. Seja T uma transformação invertível não singular de (X,μ) que dá origem a um automorfismo τ de A = L∞(X). Isto dá origem a uma transformação invertível T ⊗ id do espaço de medida (X × R,μ × m), onde m é a medida de Lebesgue, e, portanto, a um automorfismo τ ⊗ id de A L∞(R). A translação Lt define um fluxo sobre R que preserva m e, portanto, um fluxo λt sobre L∞(R). Seja S = L1 com o automorfismo correspondente σ de L∞(R). Assim, τ ⊗ σ fornece um automorfismo de A L∞(R) que comuta com o fluxo id ⊗ λt. O espaço de medida induzido Y é definido por B = L∞(Y) = L∞(X × R)τ ⊗ σ, as funções fixadas pelo automorfismo τ ⊗ σ. Ele admite o fluxo induzido dado pela restrição de id ⊗ λt a B. Como λt atua ergodicamenete sobre L∞(R), segue-se que as funções fixadas pelo fluxo podem ser identificadas com L∞(X)τ. Em particular, se a transformação original for ergódica, o fluxo por ela induzido também será ergódico.
Fluxos construídos sob uma função teto A ação induzida também pode ser descrita em termos de operadores unitários, e é esta abordagem que esclarece a generalização para fluxos especiais, isto é, fluxos construídos sob funções teto. Seja R a transformada de Fourier em L2(R,m), um operador unitário tal que Rλ(t)R∗ = Vt, onde λ(t) é a translação por t e Vt é a multiplicação por eitx. Assim, Vt pertence a L∞(R). Em particular, V1 = R S R∗. Uma função teto h é uma função em A com h ≥ ε1 com ε > 0. Então eihx fornece uma representação unitária de R em A, contínua na topologia forte de operadores e, portanto, um elemento unitário W de A L∞(R), atuando em L2(X,μ) ⊗ L2(R). Em particular, W comuta com I ⊗ Vt. Logo, comuta com I ⊗ λ(t). A ação T em L∞(X) induz um operador unitário U em L2(X) utilizando a raiz quadrada da derivada de Radon-Nikodym de μ T com respeito a μ. A álgebra induzida B é definida como a subálgebra de que comuta com . O fluxo induzido σt é dado por .
O fluxo especial correspondente à função teto com transformação de base é definido sobre a álgebra B(H) dada pelos elementos em que comutam com . O fluxo induzido corresponde à função teto h ≡ 1, a função constante. Novamente W1, e consequentemente comuta com I ⊗ λ(t). O fluxo especial em B(H) é novamente dado por . O mesmo raciocínio empregado para as ações induzidas mostra que as funções fixadas pelo fluxo correspondem às funções em A fixadas por σ, de modo que o fluxo especial é ergódico se a transformação não singular original T for ergódica.
Relação com a decomposição de Hopf
Se St é um fluxo ergódico sobre o espaço de medida (X,μ) correspondente a um grupo a 1 parâmetro de automorfismos σt de A = L∞(X,μ), então, pela decomposição de Hopf, ou todo St com t ≠ 0 é dissipativo, ou todo St com t ≠ 0 é conservativo. No caso dissipativo, o fluxo ergódico deve ser transitivo, de modo que A pode ser identificado com L∞(R) sob a medida de Lebesgue com R atuando por translação.
Para demonstrar o resultado no caso dissipativo, note que A = L∞(X,μ) é uma álgebra de von Neumann abeliana máxima atuando sobre o espaço de Hilbert L2(X,μ). A medida de probabilidade μ pode ser substituída por uma medida invariante equivalente λ e existe uma projeção p em A tal que σt(p) < p para t > 0 e λ(p – σt(p)) = t. Neste caso, σt(p) = E([t,∞)), onde E é uma medida com valores em projeções sobre R. Essas projeções geram uma subálgebra de von Neumann B de A. Por ergodicidade, σt(p) 1 quando t tende a −∞. O espaço de Hilbert L2(X,λ) pode ser identificado com o completamento do subespaço de f em A com λ(|f|2) < ∞. O subespaço correspondente a B pode ser identificado com L2(R) e B com L∞(R). Como λ é invariante sob St, ela é implementada por uma representação unitária Ut. Pelo teorema de Stone-von Neumann para o sistema covariante B, Ut, o espaço de Hilbert H = L2(X,λ) admite uma decomposição L2(R) ⊗ , onde B e Ut atuam apenas no primeiro fator tensorial. Se houver um elemento a de A que não esteja em B, então ele pertence ao comutante de B ⊗ C, isto é, em B B(). Ele pode, portanto, ser realizado como uma matriz com entradas em B. Multiplicando por χ[r,s] em B, as entradas de a podem ser tomadas em L∞(R) ∩ L1(R). Para tais funções f, como um caso elementar do teorema ergódico, a média de σt(f) sobre [−R,R] tende na topologia fraca de operadores a ∫ f(t) dt. Logo, para um χ[r,s] apropriado, isso produzirá um elemento em A que pertence a C ⊗ B() e não é um múltiplo de 1 ⊗ I. Mas tal elemento comuta com Ut, sendo assim fixado por σt, contradizendo a ergodicidade. Portanto, A = B = L∞(R).
Quando todos os σt com t ≠ 0 são conservativos, diz-se que o fluxo é propriamente ergódico. Neste caso, segue-se que para toda projeção não nula p em A e t ≠ 0, p ≤ σt (p) ∨ σ2t (p) ∨ σ3t (p) ∨ ⋅⋅⋅ Em particular, ∨±t > 0 σt (p) = 1 para p ≠ 0.
Teorema de Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo
O teorema estabelece que todo fluxo ergódico é isomorfo a um fluxo especial correspondente a uma função teto com transformação de base ergódica. Se o fluxo deixa uma medida de probabilidade invariante, o mesmo ocorre com a transformação de base.
Por simplicidade, considera-se apenas o resultado original de , o caso de um fluxo ergódico que preserva uma medida de probabilidade . Seja = e seja o fluxo ergódico. Como o fluxo é conservativo, para qualquer projeção p ≠ 0, 1 em A existe um T > 0 tal que σT(p) não é menor ou igual a p, de modo que . Por outro lado, à medida que r > 0 decresce para zero,
na topologia forte de operadores ou, equivalentemente, na topologia fraca de operadores (essas topologias coincidem sobre unitários, portanto sobre involuções, portanto sobre projeções). De fato, basta mostrar que, se ν é qualquer medida finita em A, então ν(ar) tende a ν(p). Isso decorre do fato de que f(t) = ν(σt(p)) é uma função contínua de t, de forma que a média de f sobre [0,r] tende a f(0) quando r tende a 0.
Note que . Agora, para um r > 0 fixado, seguindo , define-se:
Defina r = N–1 para N grande e fN = ar. Assim, 0 ≤ fN ≤ 1 em L∞(X,μ) e fN tende a uma função característica p em L1(X,μ). Mas então, se ε = 1/4, segue-se que χ[0,ε](fN) tende a χ[0,ε](p) = 1 – p em L1(X).Aplicando o mesmo argumento a 1 − fN e 1 − p, mostra-se que se gN tende a 1 − p em L1(X) com 0 ≤ gN ≤ 1, então χ[1–ε,1](gN) tende a p em L1(X). Utilizando a decomposição A = pA ⊕ (1 − p)A, isso se reduz a provar que, se 0 ≤ hN ≤ 1 em L∞(Y,ν) e hN tende a 0 em L1(Y,ν), então χ[1−ε,1](hN) tende a 0 em L1(Y,ν). Mas isso decorre facilmente da desigualdade de Chebyshev: de fato, , de modo que , o qual tende a 0 por hipótese.
Assim, por definição, q0(r) ∧ q1(r) = 0. Além disso, para r = N−1 suficientemente pequeno, q0(r) ∧ σT(q1(r)) > 0. O raciocínio acima mostra que q0(r) e q1(r) tendem a 1 − p e p quando r = N−1 tende a 0. Isto implica que q0(r)σT(q1(r)) tende a (1 − p)σT(p) ≠ 0, sendo portanto não nulo para N suficientemente grande. Fixando tal N e, com r = N−1, definindo q0 = q0(r) e q1 = q1(r), pode-se então assumir que:
A definição de q0 e q1 também implica que, se δ < r/4 = (4N)−1, então:
De fato, se s < t,
Tome s = 0, de modo que t > 0 e suponha que e = σt(q0) ∧ q1 > 0. Logo, e = σt(f) com f ≤ q0. Então σt(ar)e = σt(arf) ≤ 1/4 e e are ≥ 3/4 e, de modo que:
Consequentemente, ||ar − σt(ar)||∞ ≥ 1/2. Por outro lado, ||ar − σt(ar)||∞ é limitado superiormente por 2t/r, de modo que t ≥ r/4. Logo, σt(q0) ∧ q1 = 0 se |t| ≤ δ.