Em óptica quântica, as funções de correlação são usadas para caracterizar as propriedades estatísticas e de coerência – a capacidade das ondas de interferirem – da radiação eletromagnética, como a luz óptica. A coerência de ordem superior ou coerência de n-ésima ordem (para qualquer número inteiro positivo n>1) estende o conceito de coerência à óptica quântica e a experimentos de coincidência. É usado para diferenciar entre experimentos ópticos que exigem uma descrição mecânico-quântica daqueles para os quais campos clássicos são suficientes.

Experimentos ópticos clássicos como o experimento de fenda dupla de Young e a interferometria de Mach-Zehnder são caracterizados apenas pela coerência de primeira ordem. O experimento de Hanbury Brown e Twiss de 1956 trouxe à luz um tipo diferente de correlação entre campos, nomeadamente a correlação de intensidades, que corresponde a coerências de segunda ordem. Ondas coerentes têm uma relação de fase constante bem definida. As funções de coerência, como introduzidas por Roy Glauber e outros na década de 1960, capturam a matemática por trás da intuição, definindo a correlação entre os componentes do campo elétrico como coerência. Essas correlações entre componentes do campo elétrico podem ser medidas em ordens arbitrárias, levando assim ao conceito de diferentes ordens ou graus de coerência.

Ordens de coerência podem ser medidas usando funções de correlação clássicas ou usando o análogo quântico dessas funções, que tomam como entrada a descrição mecânico-quântica dos operadores de campo elétrico. O mecanismo subjacente e a descrição dos processos físicos são fundamentalmente diferentes porque a interferência quântica lida com a interferência de histórias possíveis, enquanto a interferência clássica lida com a interferência de ondas físicas.

Considerações análogas se aplicam a outros sistemas ondulatórios. Por exemplo, o caso das Correlações de Bose–Einstein em física da matéria condensada.

Introdução

Coerência de primeira ordem A função de correlação normalizada de primeira ordem é escrita como:

onde denota uma média de conjunto (estatística). Para estados não estacionários, como pulsos, o conjunto é composto por muitos pulsos. Quando se lida com estados estacionários, onde as propriedades estatísticas não mudam com o tempo, pode-se substituir a média de conjunto por uma média temporal. Se nos restringirmos a ondas planas paralelas entre si, então .

Neste caso, o resultado para estados estacionários não dependerá de , mas do atraso temporal (ou se ).

Isso nos permite escrever uma forma simplificada

onde agora calculamos a média sobre t. thumb|Este é um gráfico do valor absoluto de g(1) em função do atraso normalizado pelo comprimento de coerência τ/τc. A curva azul é para um estado coerente (um laser ideal ou uma frequência única). A curva vermelha é para luz caótica lorentziana (por exemplo, alargamento por colisão). A curva verde é para luz caótica gaussiana (por exemplo, alargamento Doppler).|300x300px Em interferômetros ópticos como o interferômetro de Michelson, interferômetro de Mach–Zehnder ou interferômetro de Sagnac, divide-se um campo elétrico em dois componentes, introduz-se um atraso temporal em um dos componentes e depois os recombinam. A intensidade do campo resultante é medida em função do atraso temporal. Neste caso específico envolvendo duas intensidades de entrada iguais, a visibilidade do padrão de interferência resultante é dada por:

onde a segunda expressão envolve a combinação de dois pontos espaço-temporais de um campo. A visibilidade varia de zero, para campos elétricos incoerentes, a um, para campos elétricos coerentes. Qualquer coisa entre esses extremos é descrita como parcialmente coerente.

Geralmente, e .

Para luz de uma única frequência (de uma fonte pontual):

Para luz caótica lorentziana (por exemplo, alargamento por colisão):

Para luz caótica gaussiana (por exemplo, alargamento Doppler):

Aqui, é a frequência central da luz e é o tempo de coerência da luz.

Descrição clássica do experimento de dupla fenda

thumb|300x300px|Figura 1. Diagrama esquemático da configuração do Experimento de Dupla Fenda de Young. No experimento de dupla fenda, originalmente por Thomas Young em 1801, a luz de uma fonte luminosa é permitida passar através de dois orifícios separados por alguma distância, e uma tela é colocada a alguma distância dos orifícios onde a interferência entre as ondas de luz é observada (Figura 1). O experimento de dupla fenda de Young demonstra a dependência da interferência na coerência, especificamente na correlação de primeira ordem. Este experimento é equivalente ao interferômetro de Mach–Zehnder com a ressalva de que o experimento de dupla fenda de Young está preocupado com a coerência espacial, enquanto o interferômetro de Mach–Zehnder depende da coerência temporal.

A intensidade medida na posição no tempo é

.

O campo de luz tem o mais alto grau de coerência quando o padrão de interferência correspondente tem o contraste máximo na tela. O contraste das franjas é definido como .

Classicamente, e, portanto, . Como a coerência é a capacidade de interferir, a visibilidade e a coerência estão ligadas:

significa maior contraste, coerência completa significa visibilidade parcial das franjas, coerência parcial significa sem contraste, incoerência completa.

Descrição quântica do experimento de dupla fenda Classicamente, o campo elétrico em uma posição é a soma dos componentes do campo elétrico dos dois orifícios em e nos tempos anteriores respectivamente, ou seja, . Correspondentemente, na descrição quântica os operadores de campo elétrico são similarmente relacionados, . Isso implica

.

A intensidade flutua em função da posição, ou seja, o tratamento mecânico-quântico também prevê franjas de interferência. Além disso, de acordo com o entendimento intuitivo de coerência, ou seja, a capacidade de interferir, os padrões de interferência dependem da função de correlação de primeira ordem . Comparando isso com a intensidade clássica, notamos que a única diferença é que a correlação clássica normalizada é agora substituída pela correlação quântica . Mesmo os cálculos aqui parecem surpreendentemente semelhantes aos que poderiam ser feitos classicamente. No entanto, a interferência quântica que ocorre neste processo é fundamentalmente diferente da interferência clássica das ondas eletromagnéticas. A interferência quântica ocorre quando duas histórias possíveis, dado um estado inicial e final particular, interferem. Neste experimento, dado um estado inicial do fóton antes do orifício e seu estado final na tela, as duas histórias possíveis correspondem aos dois orifícios através dos quais o fóton poderia ter passado. Portanto, mecanicamente quântica, aqui o fóton está interferindo consigo mesmo. Tal interferência de diferentes histórias, no entanto, ocorre apenas quando o observador não tem nenhuma maneira específica de determinar qual das diferentes histórias realmente ocorreu. Se o sistema for observado para determinar o caminho do fóton, então, em média, a interferência de amplitudes desaparecerá.

Coerência de segunda ordem thumb|300px|Gráfico de g(2) em função do atraso normalizado pelo comprimento de coerência τ/τc. A curva azul é para um estado coerente (um laser ideal ou uma frequência única). A curva vermelha é para luz caótica lorentziana (por exemplo, alargamento por colisão). A curva verde é para luz caótica gaussiana (por exemplo, alargamento Doppler). A luz caótica é super-Poissoniana e aglomerada. A função de correlação normalizada de segunda ordem é escrita como:

.

Observe que isso não é uma generalização da coerência de primeira ordem.

Se os campos elétricos são considerados clássicos, podemos reordená-los para expressar em termos de intensidades. Uma onda plana paralela em um estado estacionário terá

.

A expressão acima é par, . Para campos clássicos, pode-se aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz às intensidades na expressão acima (já que são números reais) para mostrar que . A desigualdade mostra que . Assumindo independência das intensidades quando leva a . No entanto, a coerência de segunda ordem para uma média sobre franjas de saídas complementares de interferômetro de um estado coerente é apenas 0,5 (embora para cada saída). E (calculada a partir de médias) pode ser reduzida a zero com um nível de disparo discriminador adequado aplicado ao sinal (dentro da faixa de coerência).

Diz-se que a luz é aglomerada se e antiaglomerada se .

A luz caótica de todos os tipos (alargamento lorentziano ou gaussiano) é aglomerada, seguindo a relação de SiegertA. J. F. Siegert, On the fluctuations in signals returned by many independently moving scatterers, Report: Radiation Laboratory (Massachusetts Institute of Technology, 1943). . Observe que o efeito Hanbury Brown e Twiss usa esse fato para encontrar a partir de uma medição de . O aglomeramento da luz caótica pode ser pensado como vindo de variações temporais na probabilidade de emissão devido à emissão estimulada. Isto é, uma vez que um fóton é emitido espontaneamente, ele deve viajar através do meio emissor antes de irradiar para o campo distante. Durante este breve trânsito, ele pode causar emissão estimulada em outros estados excitados, levando a uma maior probabilidade de fótons serem emitidos coerentemente com atraso temporal próximo de zero, ou seja, um pico em em .

Para luz de uma única frequência: . Assim, a luz laser não é nem aglomerada nem antiaglomerada.

No caso de anticonglomerado de fótons, para temos para uma fonte de fóton único porque

onde é o observável número de fótons.SINGLE PHOTONS FOR QUANTUM INFORMATION PROCESSING - http://www.stanford.edu/group/yamamotogroup/Thesis/DFthesis.pdf (Cópia arquivada: https://web.archive.org/web/20121023140645/http://www.stanford.edu/group/yamamotogroup/Thesis/DFthesis.pdf)

Generalização O campo elétrico pode ser separado em seus componentes de frequência positiva e negativa . Qualquer um dos dois componentes de frequência contém toda a informação física sobre a onda. A função de correlação clássica de primeira ordem, segunda ordem e n-ésima ordem são definidas da seguinte forma

, , , onde representa . Embora a ordem de e não importe no caso clássico, pois são meramente números e, portanto, comutam, o ordenamento é vital no análogo quântico dessas funções de correlação. A função de correlação de primeira ordem, medida no mesmo tempo e posição, nos dá a intensidade, ou seja, . A função de correlação normalizada clássica de n-ésima ordem é definida dividindo a função de correlação de n-ésima ordem por todas as intensidades correspondentes: .

Descrição quântica Em mecânica quântica, os componentes de frequência positiva e negativa do campo elétrico são substituídos pelos operadores e , respectivamente. Na imagem de Heisenberg,, onde é o vetor de polarização, é o vetor unitário perpendicular a , com significando um dos dois vetores que são perpendiculares ao vetor de polarização, é a frequência do modo e é o volume. A função de correlação quântica de n-ésima ordem é definida como:

.

A ordem dos operadores e é importante. Isso ocorre porque os componentes de frequência positiva e negativa ( e ) são proporcionais aos operadores de aniquilação e criação, respectivamente, e e não comutam. Quando os operadores são escritos na ordem mostrada na equação acima, diz-se que estão em ordenamento normal. Subsequentemente, a função de correlação normalizada de n-ésima ordem é definida como:.Diz-se que um campo é coerente de m-ésima ordem se a função de correlação normalizada de m-ésima ordem é unitária. Esta definição vale tanto para quanto para .

Exemplos

Experimento de Hanbury Brown e Twiss

thumb|300x300px|Figura 2. Diagrama esquemático da configuração do experimento original de Hanbury Brown e Twiss.