Em matemática, uma estrutura de Hodge, nomeada em homenagem a W. V. D. Hodge, é uma estrutura algébrica no nível da álgebra linear, semelhante àquela que a teoria de Hodge atribui aos grupos de cohomologia de uma variedade de Kähler suave e compacta. As estruturas de Hodge foram generalizadas para todas as variedades complexas (mesmo quando são singulares e não completas) na forma de estruturas de Hodge mistas, definidas por Pierre Deligne (1970). Uma variação de estrutura de Hodge é uma família de estruturas de Hodge parametrizada por uma variedade, estudada pela primeira vez por Phillip Griffiths (1968). Todos esses conceitos foram generalizados ainda mais para módulos de Hodge mistos sobre variedades complexas por Morihiko Saito (1989).
Estruturas de Hodge
Definição de estruturas de Hodge Uma estrutura de Hodge pura de peso inteiro n consiste de um grupo abeliano e de uma decomposição da sua complexificação como soma direta de subespaços complexos , onde , com a propriedade de que o conjugado complexo de é :
Uma definição equivalente é obtida substituindo a decomposição em soma direta de pela filtração de Hodge, uma filtração finita decrescente de por subespaços complexos (), sujeita à condição
A relação entre essas duas descrições é dada por:
Por exemplo, se é uma variedade de Kähler compacta, é o -ésimo grupo de cohomologia de X com coeficientes inteiros; então é o -ésimo grupo de cohomologia com coeficientes complexos e a teoria de Hodge fornece a decomposição de como soma direta acima, de modo que esses dados definem uma estrutura de Hodge pura de peso . Por outro lado, a sequência espectral de Hodge–de Rham fornece a a filtração decrescente por como na segunda definição.Em termos de sequências espectrais, ver álgebra homológica: as filtrações de Hodge podem ser descritas como
usando a notação em #Definição de estrutura de Hodge mista. O fato importante é que há degenerescência em , o que significa que a sequência espectral de Hodge–de Rham, e portanto a decomposição de Hodge, depende apenas da estrutura complexa e não da métrica de Kähler em M.
Em aplicações à geometria algébrica — em particular, a classificação de variedades projetivas complexas por seus períodos — o conjunto de todas as estruturas de Hodge de peso em é grande demais. Usando as relações bilineares de Riemann (neste contexto chamadas relações bilineares de Riemann–Hodge), ele pode ser substancialmente simplificado. Uma estrutura de Hodge polarizada de peso n consiste de uma estrutura de Hodge e de uma forma bilinear inteira não degenerada em (polarização), estendida a por linearidade, e satisfazendo:
Em termos da filtração de Hodge, essas condições implicam:
onde é o operador de Weil em , dado por em .
Uma terceira definição de estrutura de Hodge baseia-se na equivalência entre uma -graduação em um espaço vetorial complexo e uma ação do grupo do círculo U(1). Nesta definição, dá-se uma ação do grupo multiplicativo dos complexos , visto como um toro algébrico real comutativo de dimensão 2, em .Mais precisamente, seja S o grupo algébrico real comutativo de dimensão 2 definido como a restrição de Weil do grupo multiplicativo de para ; isto é, se A é uma álgebra sobre , então o grupo de pontos S(A) é o grupo multiplicativo de . Então é o grupo dos complexos não nulos. Essa ação deve ter a propriedade de que um número real a atua por . O subespaço é aquele no qual atua por multiplicação por .
Estrutura de Hodge sobre A Na teoria dos motivos torna-se importante permitir coeficientes mais gerais para a cohomologia. Modifica-se então a definição fixando um subanel noetheriano A do corpo dos reais, tal que seja um corpo. Uma estrutura de Hodge pura sobre A de peso n é definida como antes, substituindo por A. Há funtores naturais de mudança de base e de restrição relacionando estruturas de Hodge sobre A e sobre B, quando A é subanel de B.
Estruturas de Hodge mistas
Na década de 1960, Jean-Pierre Serre observou, com base nas conjeturas de Weil, que mesmo variedades algébricas singulares (possivelmente redutíveis) e não completas deveriam admitir “números de Betti virtuais”. Mais precisamente, deveria ser possível associar a qualquer variedade algébrica X um polinômio , chamado seu polinômio de Poincaré virtual, com as propriedades: Se X é não singular e projetiva (ou completa),
Se Y é um subconjunto algébrico fechado de X e U = X\ \ Y,
A existência desses polinômios seguiria da existência de um análogo de estrutura de Hodge na cohomologia de uma variedade algébrica geral (singular e não completa). A novidade é que a cohomologia de grau n de uma variedade geral parece conter partes de pesos diferentes. Isso levou Alexander Grothendieck à sua teoria conjectural de motivos e motivou a busca de uma extensão da teoria de Hodge, culminando no trabalho de Pierre Deligne. Deligne introduziu a noção de estrutura de Hodge mista, desenvolveu técnicas para trabalhá-las, construiu-as (com base na resolução de singularidades de Heisuke Hironaka) e relacionou-as aos pesos na cohomologia ℓ-ádica, provando a última parte das conjeturas de Weil.
Exemplo de curvas Para motivar a definição, considere o caso de uma curva algébrica complexa redutível X composta de duas componentes não singulares e , que se intersectam transversalmente nos pontos e . Suponha ainda que as componentes não sejam compactas, mas possam ser compactificadas adicionando-se os pontos . O primeiro grupo de cohomologia de X (com suporte compacto) é dual ao primeiro grupo de homologia, que é mais fácil de visualizar. Há três tipos de 1-ciclos nesse grupo. Primeiro, há elementos representando pequenos laços em torno dos furos . Depois, há elementos provenientes da primeira homologia da compactificação de cada componente. O 1-ciclo em () correspondente a um ciclo na compactificação dessa componente não é canônico: esses elementos são determinados módulo o subespaço gerado por . Finalmente, módulo os dois primeiros tipos, o grupo é gerado por um ciclo combinatório que vai de a ao longo de um caminho em e retorna ao longo de um caminho em . Isso sugere que admite uma filtração crescente
cujos quocientes sucessivos provêm da cohomologia de variedades suaves completas e, portanto, admitem estruturas de Hodge puras, porém de pesos diferentes.
Definição de estrutura de Hodge mista Uma estrutura de Hodge mista em um grupo abeliano consiste de uma filtração finita decrescente no espaço vetorial complexo (a complexificação de ), chamada filtração de Hodge, e de uma filtração finita crescente no espaço vetorial racional , chamada filtração por pesos, sujeita à exigência de que o quociente graduado associado de grau de em relação a , munido da filtração induzida por na sua complexificação, seja uma estrutura de Hodge pura de peso , para todo inteiro . Aqui a filtração induzida em
é definida por
Pode-se definir uma noção de morfismo de estruturas de Hodge mistas, compatível com as filtrações e , e provar o seguinte:
Teorema. Estruturas de Hodge mistas formam uma categoria abeliana. Os núcleos e conúcleos nessa categoria coincidem com os núcleos e conúcleos usuais na categoria de espaços vetoriais, com as filtrações induzidas.
A cohomologia total de uma variedade de Kähler compacta admite uma estrutura de Hodge mista, onde o termo da filtração por pesos é a soma direta dos grupos de cohomologia (com coeficientes racionais) de grau menor ou igual a . Assim, pode-se pensar a teoria clássica de Hodge no caso compacto complexo como fornecendo uma graduação dupla no grupo de cohomologia complexa, o que define uma filtração decrescente e uma filtração por pesos compatíveis de certo modo. Em geral, o espaço total de cohomologia ainda possui essas duas filtrações, mas elas não provêm mais de uma decomposição em soma direta. Em conexão com a terceira definição de estrutura de Hodge pura, pode-se dizer que uma estrutura de Hodge mista não pode ser descrita via uma ação de . Um insight importante de Deligne é que, no caso misto, existe um grupo proalgébrico não comutativo mais complicado que pode desempenhar papel análogo via o formalismo tannakiano.
Além disso, a categoria das (mistas) estruturas de Hodge admite uma boa noção de produto tensorial, correspondente ao produto de variedades, bem como conceitos relacionados de Hom interno e de objeto dual, tornando-a uma categoria tannakiana. Pela filosofia de Tannaka–Krein, essa categoria é equivalente à categoria das representações lineares de dimensão finita de um certo grupo, descrito explicitamente por Deligne, Milne e outros; ver O segundo artigo intitulado Tannakian categories por Deligne e Milne concentra-se nesse tema. e . A descrição desse grupo foi reformulada em termos mais geométricos por . A análise correspondente (mais envolvida) para estruturas de Hodge puras polarizáveis racionais foi feita por .
Estrutura de Hodge mista em cohomologia (teorema de Deligne) Deligne provou que o -ésimo grupo de cohomologia de uma variedade algébrica arbitrária possui uma estrutura de Hodge mista canônica. Essa estrutura é funtorial e compatível com produtos de variedades (isomorfismo de Künneth) e com o produto em cohomologia. Para uma variedade completa não singular X essa estrutura é pura de peso , e a filtração de Hodge pode ser definida via a hipercohomologia do complexo de de Rham truncado.
A demonstração divide-se grosso modo em duas partes, tratando separadamente a não compacidade e as singularidades. Ambas usam de modo essencial a resolução de singularidades (de Hironaka). No caso singular, substituem-se variedades por esquemas simpliciais, levando a uma álgebra homológica mais complicada, e utiliza-se uma noção técnica de estrutura de Hodge em complexos (em vez de apenas em cohomologia).
Usando a teoria dos motivos, é possível refinar a filtração por pesos na cohomologia com coeficientes racionais para uma com coeficientes inteiros.
Exemplos A estrutura de Tate–Hodge é a estrutura de Hodge cujo módulo subjacente é (subgrupo de ), com . Assim, por definição, é pura de peso −2 e é a única estrutura de Hodge pura 1-dimensional de peso −2 (a menos de isomorfismo). Mais geralmente, sua n-ésima potência tensorial é denotada por ; é 1-dimensional e pura de peso −2n. A cohomologia de uma variedade de Kähler compacta admite uma estrutura de Hodge, e o n-ésimo grupo de cohomologia é puro de peso n. A cohomologia de uma variedade complexa (possivelmente singular ou não própria) admite uma estrutura de Hodge mista. Isso foi demonstrado para variedades suaves por , e, no caso geral, por . Para uma variedade projetiva com singularidades de cruzamento normal há uma sequência espectral com página degenerada que computa suas estruturas de Hodge mistas; a página possui termos explícitos com diferencial proveniente de um conjunto simplicial. Toda variedade suave X admite uma compactificação suave cujo complemento é um divisor de cruzamento normal. As formas logarítmicas correspondentes podem ser usadas para descrever explicitamente a estrutura de Hodge mista na cohomologia de X. A estrutura de Hodge de uma hipersuperfície projetiva suave de grau foi determinada explicitamente por Griffiths. Se define , então o anel quociente jacobiano graduado
contém toda a informação da cohomologia intermediária. Em particular,
Como exemplo, para a superfície K3 dada por , temos e , e o anel jacobiano graduado é
As isomorfias para a cohomologia primitiva tornam-se
de modo que
Note que tem dimensão 19. Há ainda um vetor extra em dado pela classe de Lefschetz , e assim o número de Hodge total é 20. Logo o diamante de Hodge é:
Aplicações