Funtores fibra em teoria das categorias, topologia e geometria algébrica referem-se a vários funtores relacionados de forma geral que generalizam os funtores que associam a um espaço de recobrimento
a fibra
sobre um ponto .
Definição Um funtor fibra (ou funtor de fibra) é um conceito geral que admite múltiplas definições dependendo do formalismo considerado. Uma das principais motivações iniciais para esses funtores provém da teoria dos topoi.
Recorde que um topos é a categoria dos feixes sobre um sítio. Se um sítio consiste apenas de um único objeto (como um ponto), então o topos correspondente é equivalente à categoria dos conjuntos . Se considerarmos o topos dos feixes sobre um espaço topológico , denotado , então dar um ponto equivale a definir um par de funtores adjuntos
O funtor envia um feixe sobre para a sua fibra no ponto , isto é, o seu germe.
Provenientes de espaços de recobrimento Considere a categoria dos espaços de recobrimento sobre um espaço topológico , denotada . Para um ponto existe um funtor fibra
que envia um recobrimento para a fibra . Esse funtor possui automorfismos provenientes de , pois o grupo fundamental atua nos recobrimentos de . Em particular, ele atua no conjunto . De fato, todos os automorfismos de provêm de .
Com topologias étale Existe um análogo algébrico dos espaços de recobrimento proveniente da topologia étale de um esquema conexo . O sítio subjacente consiste de recobrimentos étale finitos, isto é, morfismos planos e sobrejetivos tais que a fibra sobre cada ponto geométrico é o espectro de uma -álgebra étale finita.
Fixando um ponto geométrico , considere a fibra geométrica e seja o conjunto subjacente dos seus pontos com valores em . Então
é um funtor fibra, onde é o topos associado à topologia étale finita de . Um teorema de Grothendieck afirma que os automorfismos de formam um grupo profinito denotado , o qual atua continuamente nesses conjuntos finitos, estabelecendo uma equivalência entre recobrimentos e conjuntos finitos com tais ações.
Provenientes de categorias tannakianas Outra classe de funtores fibra surge das realizações cohomológicas de motivos na geometria algébrica. Por exemplo, o funtor de cohomologia de de Rham envia um motivo para seus grupos de cohomologia de de Rham subjacentes .
Ver também Topos Topologia étale Motivo (geometria algébrica) Geometria anabeliana
Referências
Ligações externas SGA 4 e SGA 4 IV Motivic Galois group
Categoria:Teoria das categorias Categoria:Categorias monoidais