Em teoria das categorias, ramo da matemática, uma categoria monoidal simétrica é uma categoria monoidal (isto é, uma categoria equipada com um “produto tensorial” ) na qual esse produto é simétrico: para quaisquer objetos e , existe (de modo coerente) um isomorfismo natural entre e . Um exemplo prototípico é a categoria das espaços vetoriais sobre um corpo fixo , com o produto tensorial usual de espaços vetoriais.
Definição Uma categoria monoidal simétrica é uma categoria monoidal tal que, para todo par de objetos em , existe um isomorfismo
chamado braiding simétrico (ou, em linguagem informal, aplicação de troca), que é natural em e , e satisfaz condições de coerência (isto é, certos diagramas comutam). Em particular, se denota o isomorfismo de associatividade e , os isomorfismos unitários à esquerda e à direita, exige-se:
Coerência com a unidade: as composições envolvendo , e concordam de modo compatível com o objeto unidade . Coerência com a associatividade: as duas maneiras canônicas de permutar e reassociar até coincidem. Lei do inverso (simetria): .
(Em muitas referências, essas condições são apresentadas por meio de diagramas comutativos padrão.)
Exemplos Alguns exemplos (e um contraexemplo típico) de categorias monoidais simétricas:
Categoria dos conjuntos: com dado pelo produto cartesiano; qualquer conjunto unitário pode ser escolhido como objeto unidade. Categoria dos grupos: com dado pelo produto direto; o grupo trivial é o objeto unidade. De forma mais geral, qualquer categoria com produtos finitos (isto é, uma categoria monoidal cartesiana) é monoidal simétrica, com o produto categorial como tensor e um objeto terminal como unidade. A categoria de bimódulos sobre um anel é monoidal via o produto tensorial de módulos, mas em geral não é simétrica. Se é comutativo, então a categoria de -módulos à esquerda é monoidal simétrica; isso inclui, por exemplo, a categoria dos espaços vetoriais sobre um corpo. Dado um corpo e um grupo (ou uma álgebra de Lie sobre ), a categoria das representações -lineares desse objeto é monoidal simétrica, com o produto tensorial usual de representações. As categorias de espaço estereótipo sobre , com produtos monoidais usuais na teoria (frequentemente denotados por e ), fornecem exemplos de categorias monoidais simétricas; em certos casos, obtém-se ainda uma estrutura monoidal simétrica fechada com um funtor hom interno.
Propriedades O espaço classificante (realização geométrica do nervo) de uma categoria monoidal simétrica tem estrutura de espaço . Em particular, a sua completação de grupo dá origem a um espaço de loops infinito.
Especializações Uma categoria monoidal simétrica dagger é uma categoria monoidal simétrica equipada com uma estrutura dagger compatível.
Um cosmos é uma categoria monoidal simétrica completa e cocompleta, além de fechada.
Generalizações Numa categoria monoidal simétrica, os isomorfismos são seus próprios inversos no sentido de que . Se essa condição for relaxada (mantendo apenas a existência de uma família natural de isomorfismos com coerências apropriadas), obtém-se a noção mais geral de categoria monoidal trançada.
Ver também
Categoria pseudo-tensor
Referências
Ligações externas
Categoria:Teoria das categorias