Em matemática, especificamente na teoria das categorias, uma categoria pseudo-abeliana é uma categoria que é pré-aditiva e tal que todo idempotente possui um núcleo.Artin, 1972, p. 413. Recorde-se que um morfismo idempotente é um endomorfismo de um objeto com a propriedade de que . Considerações elementares mostram que todo idempotente possui, então, um conúcleo.Lars Brünjes, Forms of Fermat equations and their zeta functions, Appendix A A condição pseudo-abeliana é mais forte que a pré-aditividade, mas é mais fraca que a exigência de que todo morfismo possua um núcleo e um conúcleo, como é o caso das categorias abelianas.
Sinônimos na literatura para pseudo-abeliana incluem pseudoabeliana e Karoubiana.
Exemplos
Qualquer categoria abeliana, em particular a categoria Ab de grupos abelianos, é pseudo-abeliana. De fato, em uma categoria abeliana, todo morfismo possui um núcleo.
A categoria de pseudo-anéis (do inglês rngs, não rings!) juntamente com morfismos multiplicativos é pseudo-abeliana.
Um exemplo mais complexo é a categoria dos motivos de Chow. A construção dos motivos de Chow utiliza o completamento pseudo-abeliano descrito abaixo.
Completamento pseudo-abeliano
A construção do envelope de Karoubi associa a uma categoria arbitrária uma categoria juntamente com um funtor
tal que a imagem de todo idempotente em se fatora (ou cinde) em . Quando aplicada a uma categoria pré-aditiva , a construção do envelope de Karoubi resulta em uma categoria pseudo-abeliana chamada de completamento pseudo-abeliano ou envelope pseudo-abeliano de . Além disso, o funtor
é, na verdade, um morfismo aditivo.
Para ser preciso, dada uma categoria pré-aditiva , construímos uma categoria pseudo-abeliana da seguinte maneira. Os objetos de são pares onde é um objeto de e é um idempotente de . Os morfismos
em são os morfismos
tais que em .
O funtor
é dado levando-se para .
Citações
Categoria:Teoria das categorias