No campo matemático da teoria das categorias, o produto de duas categorias C e D, denotado por e chamado de categoria de produto, é uma extensão do conceito de produto cartesiano de dois conjuntos. Categorias produto são usadas para definir bifuntores e multifuntores.
Definição A categoria produto possui: como objetos: pares de objetos , onde A é um objeto de C e B é um objeto de D; como setas (ou morfismos) de para : pares de setas , onde é uma seta de C e é uma seta de D; como composição, a composição componente a componente das categorias de origem: ; como identidades, pares de identidades das categorias de origem: 1(A, B) = (1A, 1B). Relação com outros conceitos categóricos Para categorias pequenas, isso é o mesmo que a ação sobre objetos do produto categórico na categoria Cat. Um funtor cujo domínio é uma categoria produto é conhecido como um bifuntor. Um exemplo importante é o funtor Hom, que possui como domínio o produto da oposta de alguma categoria com a própria categoria original:
Hom : Cop × C → Set.
Generalização para vários argumentos Assim como o produto cartesiano binário é facilmente generalizado para um produto cartesiano n-ário, o produto binário de duas categorias pode ser generalizado, de forma completamente análoga, para um produto de n categorias. A operação de produto em categorias é comutativa e associativa, a menos de isomorfismo, e, portanto, essa generalização não traz nada de novo de um ponto de vista teórico.
Referências
Definição 1.6.5 em
Categoria:Teoria das categorias