No campo matemática da teoria dos nós, um nó quiral é um nó que não é equivalente à sua imagem especular (quando idênticos e invertidos). Um nó orientado que é equivalente à sua imagem especular é um nó anfiquiral, também chamado de nó aquiral. A quiralidade de um nó é uma invariante do nó. A quiralidade de um nó pode ser classificada ainda mais dependendo se ele é ou não invertível.
Existem apenas cinco tipos de simetria de nós, indicados por quiralidade e invertibilidade: totalmente quiral, invertível, positivamente anfiquiral não invertível, negativamente anfiquiral não invertível e totalmente anfiquiral invertível..
Contexto A possível quiralidade de certos nós era suspeita desde 1847, quando Johann Listing afirmou que o trevo era quiral, e isso foi provado por Max Dehn em 1914. P. G. Tait encontrou todos os nós anfiqueirais com até 10 cruzamentos e conjecturou que todos os nós anfiqueirais tinham número de cruzamentos pares. Mary Gertrude Haseman encontrou todos os 12 nós anfiqueirais de cruzamento e muitos de 14 cruzamentos no final da década de 1910. Mas um contra-exemplo à conjectura de Tait, um nó anfiquiral de 15 cruzamentos, foi encontrado por Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite e Jeff Weeks em 1998. no entanto, a conjectura de Tait foi provada verdadeira para nós primos, alternados. Accessed: May 5, 2013.
+ Número de nós de cada tipo de quiralidade para cada número de cruzamento Número de cruzamentos 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sequência OEIS Nós quirais 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 N/A Nós invertíveis 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 A051769 Nós totalmente quirais 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 A051766 Nós anfiquirais 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 A052401 Nós anfiquirais totalmente não invertíveis 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 A051767 Nós anfiquirais negativos não invertíveis 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 A051768 Nós totalmente anfiquirais 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 A052400
O nó quiral mais simples é o nó trevo, que foi demonstrado ser quiral por Max Dehn. Todos os nós toroidais não triviais são quirais. O polinômio de Alexander não consegue distinguir um nó de sua imagem especular, mas o polinômio de Jones consegue em alguns casos; se Vk(q) ≠ Vk(q)−1), então o nó é quiral; no entanto, o inverso não é verdadeiro. O polinômio de HOMFLY é ainda melhor na detecção de quiralidade, mas não há nenhum polinômio conhecido que possa detectar quiralidade completamente.
Nó invertível Um nó quiral que pode ser suavemente deformado sobre si mesmo com a orientação oposta é classificado como um nó invertível.Three Dimensional Invariants, The Knot Atlas. Exemplos incluem o nó trevo.
Nó totalmente quiral Se um nó não for equivalente ao seu inverso ou à sua imagem especular, é um nó totalmente quiral, por exemplo, o nó 9 32.
Nó anfiquiral
Um nó anfiquiral é aquele que possui um auto-homeomorfismo de orientação reverso da 3-esfera, α, fixando o nó por conjunto. Todos os nós alternados anfiquirais têm número de cruzamento pares. O primeiro nó anfiquiral com número de cruzamento ímpar é um nó de 15 cruzamentos descoberto por Jim Hoste et al.
Totalmente anfiquiral Se um nó é isotópico tanto em relação à sua imagem reversa quanto à sua imagem especular, ele é totalmente anfiquiral. O nó mais simples com essa propriedade é o nó em oito.
Anfiquiral positivo Se o auto-homeomorfismo, α, preserva a orientação do nó, diz-se que ele é anfiquiral positivo. Isso equivale a um nó isotópico ao seu espelho. Nenhum nó com número de cruzamentos menor que doze é anfiquiral positivo e não invertível.
Anfiquiral negativo thumb|80px|O primeiro nó anfiquial negativo Se o auto-homeomorfismo, α, inverte a orientação do nó, diz-se que ele é anfiquiral negativo. Isso equivale a um nó isotópico ao inverso de sua imagem especular. O nó não invertível com essa propriedade que apresenta o menor número de cruzamentos é o nó 817.
Referências
Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Teoria dos nós Categoria:!Páginas com traduções não revistas