miniatura|Representación gráfica da función densidade de distribución de Maxwell-Boltzmann.
En física, a estatística de Maxwell-Boltzmann é unha función estatística desenvolvida para modelar o comportamento de sistemas físicos rexidos pola mecánica clásica. Esta función estatística clásica, formulada orixinalmente polos físicos J.C. Maxwell e L. Boltzmann, rexe a distribución dun conxunto de partículas en función dos posibles valores de enerxía dos estados que estas poden ocupar. Para cada sistema termodinámico, a distribución de Maxwell-Boltzmann non é outra cousa que a aplicación do colectivo canónico da mecánica estatística, baixo o suposto non-cuántico de que os números de ocupación de cada estado dispoñible son pequenos comparados co número máximo de ocupación.
Esta función é unha densidade de probabilidade cuxa expresión é:Ou de forma máis xeneralizada, pode expresarse como:
Onde:
: é unha función dependente de , o número de partículas no sistema e de , a temperatura do sistema en Kelvin. é o número de partículas no estado i. é a enerxía do estado i-ésimo. é a dexeneración do nivel de enerxía i, é dicir, o número de estados (excluíndo o estado de partícula libre) con enerxía . é o potencial químico. é a constante de Boltzmann. é o número total de partículas:
é a función partición:
é o número de Euler.
A distribución de Maxwell-Boltzmann aplicouse especialmente á teoría cinética de gases, e outros sistemas físicos, ademais de en econofísica para predicir la distribución da renda. En realidade a distribución de Maxwell-Boltzmann é aplicable a calquera sistema formado por N "partículas" ou "individuos" que intercambian estacionariamente entre si unha certa magnitude M e cada un deles ten unha cantidade mi da magnitude M e ao longo do tempo se cumpre que M := m1+m2+...+ mN.
Límites de aplicación Para un sistema de partículas cuánticas, a hipótese de que sexa substancialmente menor que para os estados diferentes do fundamental en xeral non se cumprirá e é necesario acudir á estatística de Bose-Einstein se as partículas son bosónicas ou á estatística de Fermi-Dirac si as partículas son fermiónicas.
As estatísticas de Fermi–Dirac (+) e Bose–Einstein (−) poden ser expresadas como:Asumindo que o valor mínimo de é bastante pequeno, pódese verificar que a condición na cal a distribución de Maxwell-Boltzmann é válida é cando se cumpre que:Para un gas ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvemento da ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que :onde é a enerxía interna total, é a entropía, é o volume, e é a lonxitude de onda térmica de De Broglie. A condición de aplicación para a distribución Maxwell-Boltzmann nun gas ideal resulta:
Notas
Véxase tamén Outros artigos Distribución de probabilidade Estatística de Fermi-Dirac Estatística de Bose-Einstein
Bibliografía
Categoría:Mecánica estatística