En el camp de la geometria diferencial en matemàtiques, el flux de curvatura mitjana és un exemple de flux geomètric d'hipersuperfícies en una varietat riemanniana (per exemple, superfícies llises en un espai euclidià tridimensional). Intuïtivament, una família de superfícies evoluciona sota un flux de curvatura mitjana si el component normal de la velocitat de la qual es mou un punt de la superfície ve donat per la curvatura mitjana de la superfície. Per exemple, una esfera rodona evoluciona sota un flux de curvatura mitjana encongint-se uniformement cap a dins (ja que el vector de curvatura mitjana d'una esfera apunta cap a dins). Excepte en casos especials, el flux de curvatura mitjana desenvolupa singularitats.
Sota la restricció que el volum tancat és constant, això s'anomena flux a tensió superficial.
És una equació diferencial parcial parabòlica i es pot interpretar com a "suavització". miniatura|Gràfic de la superfície de curvatura mitjana constant undoloide, generada girant una catenària el·líptica al voltant de l'eix x.
Existència i singularitat El següent va ser demostrat per Michael Gage i Richard S. Hamilton com una aplicació del teorema d'existència general de Hamilton per a fluxos geomètrics parabòlics.
Sigui una varietat llisa compacta, sigui sigui una varietat riemanniana completa i llisa, i sigui sigui una immersió suau. Aleshores hi ha un nombre positiu , que podria ser infinit, i un mapa amb les propietats següents:
is a smooth immersion for any as one has in for any , the derivative of the curve at is equal to the mean curvature vector of at . if is any other map with the four properties above, then and for any
Un es refereix a com el flux de curvatura mitjana (màximament estès) amb dades inicials .
Solucions convexes Després del treball històric de Hamilton de 1982 sobre el flux de Ricci, el 1984 Gerhard Huisken va emprar els mateixos mètodes per al flux de curvatura mitjana per produir el següent resultat anàleg:
Si és l'espai euclidià , on denota la dimensió de , aleshores és necessàriament finit. Si la segona forma fonamental de la «immersió inicial» és estrictament positiu, aleshores la segona forma fonamental de la immersió també és estrictament positiu per a tots , i a més a més si s'escull la funció de manera que el volum de la varietat riemanniana és independent de , aleshores com les immersions convergeixen suaument cap a una immersió la imatge de la qual és una esfera rodona.
Cal tenir en compte que si i és una immersió hipersuperfície suau la segona forma fonamental de la qual és positiva, aleshores el mapa de Gauss és un difeomorfisme, i per tant se sap des del principi que és difeomòrfic a i, a partir de la topologia diferencial elemental, que totes les immersions considerades anteriorment són encaixaments.
Gage i Hamilton van estendre el resultat de Huisken al cas Matthew Grayson (1987) va demostrar que si és qualsevol incrustació suau, aleshores el flux de curvatura mitjana amb dades inicials finalment consisteix exclusivament en incrustacions amb curvatura estrictament positiva, punt en què s'aplica el resultat de Gage i Hamilton. En resum:
Si és una incrustació suau, aleshores considereu el flux de curvatura mitjana amb dades inicials Aleshores és una incrustació suau per a cada i existeix de tal manera que té una curvatura positiva (extrínseca) per a cada Si es selecciona la funció com en el resultat de Huisken, aleshores com les incrustacions convergeixen suaument cap a una incrustació la imatge de la qual és un cercle rodó.
Propietats El flux de curvatura mitjana extremalitza la superfície, i les superfícies mínimes són els punts crítics per al flux de curvatura mitjana; els mínims resolen el problema isoperimètric.
Per a varietats incrustades en una varietat de Kähler-Einstein, si la superfície és una subvarietat lagrangiana, el flux de curvatura mitjana és de tipus lagrangià, de manera que la superfície evoluciona dins de la classe de les subvarietats lagrangianes.
La fórmula de monotonia de Huisken dóna una propietat de monotonia de la convolució d'un nucli de calor invertit en el temps amb una superfície que pateix el flux de curvatura mitjana.
Els fluxos relacionats són:
Flux d'escurçament de corbes, el cas unidimensional del flux de curvatura mitjana el flux de tensió superficial el flux de curvatura mitjana lagrangiana el flux de curvatura mitjana inversa
Flux de curvatura mitjana d'una superfície 2D Per a una superfície 2D incrustada en com , l'equació diferencial per al flux de curvatura mitjana ve donada per
amb essent una constant que relaciona la curvatura i la velocitat de la normal a la superfície, i la curvatura mitjana sent
En els límits i , de manera que la superfície és gairebé plana amb la seva normal gairebé paral·lela a l'eix z, això es redueix a una equació de difusió
Mentre que l'equació de difusió convencional és una equació diferencial parcial parabòlica lineal i no desenvolupa singularitats (quan s'executa cap endavant en el temps), el flux de curvatura mitjana pot desenvolupar singularitats perquè és una equació parabòlica no lineal. En general, cal posar restriccions addicionals a una superfície per evitar singularitats sota fluxos de curvatura mitjana.
Tota superfície convexa llisa es col·lapsa fins a un punt sota el flux de curvatura mitjana, sense altres singularitats, i convergeix a la forma d'una esfera a mesura que ho fa. Per a superfícies de dimensió dues o més, aquest és un teorema de Gerhard Huisken; per al flux unidimensional d'escurçament de corbes és el teorema de Gage-Hamilton-Grayson. Tanmateix, existeixen superfícies incrustades de dues o més dimensions diferents de l'esfera que romanen autosimilars a mesura que es contrauen fins a un punt sota el flux de curvatura mitjana, inclòs el torus d'Angenent.
Exemple: flux de curvatura mitjana d'esferes m-dimensionals Un exemple senzill de flux de curvatura mitjana el dóna una família d'hiperesferes rodones concèntriques a La curvatura mitjana d'un esfera de radi -dimensional és .
A causa de la simetria rotacional de l'esfera (o en general, a causa de la invariància de la curvatura mitjana sota isometries), l'equació del flux de curvatura mitjana es redueix a l'equació diferencial ordinària, per a una esfera inicial de radi ,
La solució d'aquesta EDO (obtinguda, per exemple, per separació de variables) és
que existeix per a
Referències
Categoria:Geometria diferencial