240px|thumb|No hay puntos distinguidos por definición En matemáticas, particularmente en geometría, un espacio afín es una estructura que surge al olvidar el punto distinguido (origen) de un espacio vectorial.
Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la geometría euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.
Definición de espacio afín
El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.
Dado un conjunto no vacío diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial si se tiene la siguiente aplicación:Es común denominar a como espacio director, también se define como "espacio afín sobre " denotado por la terna en Máximo Anzola o "espacio afín sobre " en M. Castellet
right|200px
thumb|Visualización del orden de los puntos para o como origen y destino de una traslación.|150px
tal que se cumplan:
1) Fijado un punto a la aplicación es biyectiva, es decir:
center|200px
2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:
center|250px
Los elementos de se llaman puntos. Las parejas de elementos de , esto es, los elementos de son llamados «bipuntos»; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».
Se designa al vector por la notación , así la propiedad 2 se escribe como:
La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.
Observación:
La aplicación asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.
Coordenadas Hay dos tipos de sistema de coordenadas fuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.
Coordenadas baricéntricas
Sea un espacio afín de dimensión sobre un cuerpo , y sea una base afín de . Las propiedades de una base afín implican que para cada en existe una -tupla única de elementos tal que
y
Las se denominan coordenadas baricéntricas de sobre la base afín . Si los se consideran cuerpos que tienen pesos (o masas) , el punto es, por tanto, el baricentro de los , y esto explica el origen del término "coordenadas baricéntricas".
Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín y el subespacio afín de definido por la ecuación .
Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.
Coordenadas afines Un marco afín de un espacio afín consta de un punto, llamado origen, y de una base del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín con un espacio vectorial asociado , el origen pertenece a , y la base lineal es una base de (para simplificar la notación, se considera solo el caso de dimensión finita, considerando que el caso general es similar).
Para cada punto de , existe una secuencia única de elementos del cuerpo base tal que
o equivalentemente
Las se denominan coordenadas afines de sobre el marco afín .
Ejemplo: En geometría euclídea, las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal, es decir, un marco afín tal que es una base ortonormal.
Relación entre coordenadas baricéntricas y afines Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están fuertemente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.
De hecho, dado un marco baricéntrico
se deduce inmediatamente el marco afín
y si
son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son
Por el contrario, si
es un marco afín, entonces
es un marco baricéntrico. Si
son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son
Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que involucran menos coordenadas que sean independientes. Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo del triángulo Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano. Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:
Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas , y . Las rectas que contienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las medianas son los segmentos cuyos puntos tienen dos coordenadas iguales, y el centroide es el punto de coordenadas .
Cambio de coordenadas
Caso de coordenadas baricéntricas Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean y bases afines de . Por cada en hay alguna tupla para la cual
De manera similar, para cada de la primera base, ahora se tiene en la segunda base
para alguna tupla . En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que
obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla .
Caso de coordenadas afines
Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean , y , marcos afines de . Para cada punto de , existe una secuencia única de elementos del cuerpo base tal que
y de manera similar, por cada de la primera base, ahora se tiene en la segunda base que
para la tupla y la tupla . Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como
obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla .
Propiedades elementales
De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:
Dados y puntos cualesquiera en un espacio afín .
Tenemos:
Traslaciones right|200px
Dado un espacio afín sobre mediante y un vector , una traslación de vector en es una aplicación dada por:
Observaciones:
Se puede escribir como que está bien definida por ser biyectiva.
Propiedades
Dados los vectores se tiene:
Proposición Un espacio afín sobre queda univocamente determinado por el conjunto:En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
es aplicación
si cumple:
a)
b)
Observación: es el conjunto de todas las traslaciones ya que
Un espacio afín se designa por la terna o según la primera o segunda definición respectivamente.
Propiedades
Ejemplos:
Los espacios vectoriales son espacios afines sobre sí mismos.En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34Como mera distinción se nota como espacio vectorial y para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación como:
Esta aplicación cumple las dos condiciones:
1) es biyectiva ya que
2)
Por tanto es un espacio afín .
Observaciones
55px|center90px|center180px|centerTraslación de vector en el punto Traslación de vector y Traslación de un vector a
Dados dos espacios afínes y , entonces también es un espacio afín la terna:En Marcel Berger se puede encontrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
donde
Notación Se usa como notación algebraica de :En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.
Definición de subespacio afín Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.
Dado un espacio afín sobre mediante y un subespacio vectorial. Se espera que sea un espacio afín sobre con por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:
2) es heredado del espacio afín
1) es biyectiva, es decir:
de donde se deduce que y por tanto solo se ha de verificar que para cualquier , es decir, ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.
Dado un espacio afín sobre , y un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por y dirección al conjunto tal que:
Dados diremos que pertenecen a un mismo espacio de dirección si .
Aplicación entre espacios afines
Véase también Transformación afín
Notas al pie
Referencias
Bibliografía Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.
Categoría:Geometría afín