miniatura|Gráfica de una función cúbica.

Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación polinómica de grado tresKurosch, Curso de Álbebra Superior que se puede poner bajo la forma canónica:

Donde a, b, c y d (con a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.Leithold, Álgebra Superior.Hall and Knigt: Algebra Superior

Historia

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios. Se han encontrado tabletas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas, datadas en el imperio babilónico (siglos XX a XVI a.C.). Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia para confirmar que lo hicieran realmente. El problema de la duplicación del cubo involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, para la que los antiguos egipcios no creían que existiera una solución. indica que "los egipcios consideraron la solución imposible, pero los griegos llegaron muy cerca de una solución." En el , Hipócrates redujo este problema al encontrar dos medias proporcionales entre un segmento y otro de dos veces su longitud, pero no lo pudo resolver solo con regla y compás, una tarea que, ahora se sabe, es imposible.

Métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en el Jiuzhang Suanshu, un texto matemático chino compilado alrededor del , comentado por Liu Hui en el . En el , el matemático griego Diofanto de Alejandría encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones de tercer grado y dos variables (ecuaciones diofánticas cúbicas).Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 Hipócrates de Quíos, Menecmo y Arquímedes se acercaron a resolver el problema de duplicar el cubo usando intersección de curvas cónicas, aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos llegaron a abordar las ecuaciones cúbicas generales, o si solo consideraban problemas concretos. Algunos otros, como T. L. Heath, que tradujo todos los trabajos de Arquímedes, no están de acuerdo y presentan evidencias de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas, y que también discutió las condiciones en las que las raíces son 0, 1 o 2.

200px|izquierda|miniatura|Gráfica de la función cúbica f(x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2 = (x + 1) (2x − 1) (x − 2)

En el , el astrónomo y matemático de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió numéricamente de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma , 23 de ellas con y dos de ellas con ....

En el , el poeta-matemático persa, Omar Jayam (1048-1131), realizó un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En un texto antiguo, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y declaró que no se puede resolver utilizando solo la regla y el compás. También encontró una solución geométrica.A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337In se dice: Este problema a su vez llevó a Khayyam a resolver la ecuación cúbica , de la que encontró una raíz positiva al considerar la intersección de una hipérbola equilátera y un círculo. Más adelante se encontró una solución numérica aproximada por interpolación en tablas trigonométricas. El más adelante en la última afirmación es erróneo, y debería ser reemplazado por un también. La construcción geométrica fue perfectamente adecuada para Omar Jayam, ya que el problema se reducía a la resolución de la citada construcción geométrica. Al final de su trabajo, solo indica que "para este problema geométrico, si las aproximaciones son suficientes, se puede obtener una solución más simple consultando tablas trigonométricas". Textualmente, afirma: "Para que quien busca una solución quede satisfecho con una estimación, depende de él mirar en la tabla de cuerdas de Almagesto, o en la tabla de senos y senos versados del Observatorio Mothmed". A continuación añade una breve descripción de este método alternativo (en otras siete líneas). En su trabajo posterior, el "Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra", escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas.J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations." states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."

En el , el matemático indio Bhaskara II intentó hallar la solución general de ecuaciones cúbicas sin éxito. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: . En el , otro matemático persa, Sharaf al-Din al-Tusi (1135–1213), escribió el Al-Muʿādalāt (Tratado sobre ecuaciones), en el que describió ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que luego se conocería como el "método de Ruffini-Horner" para aproximar numéricamente las raíces de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de extremos de una función para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas, y entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas.

En su libro "Flos", Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170–1250), pudo aproximar la solución positiva de la ecuación cúbica . Escribiendo en numeración sexagesimal dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606), que tiene un error de aproximación del orden de 10−9.

A principios del , el matemático italiano Scipione del Ferro (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma . De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que y sean negativas, pero por entonces se desconocían los números negativos. Del Ferro mantuvo su logro en secreto hasta justo antes de su muerte, cuando se lo reveló a su estudiante Antonio Maria Del Fiore.

miniatura|160px|Niccolò Fontana Tartaglia

En 1530, Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas remitidos por Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Antonio Fiore, lo que llevó a un famoso concurso disputado entre los dos en 1535. Cada concursante tenía que aportar una cierta cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. Quien resolviera más problemas en 30 días obtendría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma , ecuaciones para las que había elaborado un método general. Fiore recibió preguntas en la forma , que resultaron ser demasiado difíciles de resolver para él, y Tartaglia ganó el concurso.

Posteriormente, Tartaglia fue persuadido por Gerolamo Cardano (1501–1576) para que le revelara su método secreto de resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y de que si escribía un libro sobre cúbicas, le daría tiempo a Tartaglia para publicar su descubrimiento. Algunos años después, Cardano se enteró de la existencia del trabajo anterior de Scipione del Ferro, y publicó el método de este último en su libro Ars Magna en 1545, lo que significaba que Cardano le concediera a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con crédito otorgado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría el trabajo de Tartaglia, pero Cardano defendió que estaba publicando el procedimiento de Del Ferro, justificando así evitar cumplir su promesa. Sin embargo, Tartaglia retó a Cardano a un concurso matemático, a lo que este se negó. El desafío fue finalmente aceptado por el estudiante de Cardano Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competición, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos.

Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos números complejos en su Ars Magna, pero realmente no lo entendió. Rafael Bombelli estudió este tema en detalle y por lo tanto, a menudo se le considera el descubridor de los números complejos.

François Viète (1540–1603) obtuvo de forma independiente la solución trigonométrica para la ecuación cúbica con tres raíces reales, y René Descartes (1596–1650) amplió el trabajo de Viète.

Función cúbica miniatura|derecha|250px|Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2. La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Se escribe de la siguiente manera:

donde los coeficientes son números racionales y siempre a es distinto de 0.Álgebra de Pontriaguin

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones tienen como elementos a los números reales.

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática y su integral, una función cuártica.

Ecuación cúbica La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un anillo (enteros) o campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos. Las soluciones están generalmente en un cuerpo que incluye al anillo de los coeficientes.Kurosch: Álgebra superior, Editorial Mir, Moscu, varias impresiones.

Discriminante Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados:, Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, pp. 154–156

Si , entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas. Si , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple). Si , entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas -no reales- conjugadas.

El caso real Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentaron resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en , extensión algebraica cerrada de . La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante sea mayor, menor o igual a cero. Se debe a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en y y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

Dado que se sabe que al menos habrá una solución real, también es posible resolverla aproximadamente con métodos numéricos, como por ejemplo el método de Newton-Raphson.

Factorización

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números racionales, se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un mínimo común múltiplo de sus denominadores. Tal ecuación