Teseracto

Teseracto230pxDiagrama de SchlegelTipoPolitopo regularFamiliaHipercuboCeldas8 {4,3} 20pxCaras24 {4}Aristas32Vértices16Símbolo de Schläfli {4,3,3}{4,3}x{}{4}x{4}{4}x{}x{}{}x{}x{}x{}Diagrama de Coxeter-DynkinArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_4.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_3.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_3.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_4.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_3.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svg Archivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_4.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_4.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_4.svgArchivo:CDW_dot.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svgArchivo:CDW_2.svgArchivo:CDW_ring.svgGrupo de simetríaB4, [3,3,4]Dual16-celdasFigura de vértice(3.3.3)PropiedadesConvexo, isogonal, isotoxal, isoedral

En geometría, el teseracto es el análogo en cuatro dimensiones del cubo; o expresado en otras palabras, el teseracto guarda con el cubo una relación igual a la que el cubo guarda con respecto al cuadrado. Así como la superficie del cubo consta de seis caras cuadradas, la hipersuperficie del teseracto consta de ocho celdas cúbicas. Es uno de los seis politopos regulares convexos de 4 dimensiones.

También recibe el nombre de ocho celda, 8-celda, C8, octácoro (regular, nombre preciso), octaedroide,Matila Ghyka, The geometry of Art and Life (1977), p.68 prisma cúbico, o tetracubo.Este término también puede significar un policubo compuesto por cuatro cubos Es el hipercubo de cuatro dimensiones, o el 8-cubo, formando parte de la familia de hipercubos n-dimensionales o politopos de medida. Coxeter lo etiquetó como el politopo .

Es una figura formada por ocho cubos tridimensionales ubicados en un espacio donde existe un cuarto eje dimensional (considerando el primero la longitud, el segundo la altura y el tercero la profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadradas, 8 celdas cúbicas y de 1 teseracto, valores que se pueden deducir de los sumandos del desarrollo del binomio de NewtonEn algunos textos se habla simplemente de la fórmula del polinomio , cuyo desarrollo es precisamente el binomio de Newton , donde el valor de n equivale al número de dimensiones (4 en el caso del teseracto), y siendo y . Etimología Según el Oxford English Dictionary, la palabra teseracto fue acuñada y utilizada por primera vez en 1888 por Charles Howard Hinton en su libro A New Era of Thought. El término procede del griego antiguo (téssereis aktines, "cuatro rayos"), refiriéndose a las cuatro aristas que parten de cada vértice hacia los vértices contiguos. En esta publicación, así como en algunos de los trabajos posteriores de Hinton, la palabra también está escrita ocasionalmente como "tessaract".

Noción intuitiva Un teseracto se puede definir como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, como la suma de todas sus posiciones a lo largo del tiempo (entendido como una cuarta dimensión). Por supuesto, es imposible ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que, con suerte, solo sería posible ver un cubo común únicamente en el caso de que el hipercubo toque el espacio 3D en forma paralela a una de sus hipercaras. En cualquier otro caso, se vería un poliedro irregular, al igual que cuando un cubo es intersecado por un plano se pueden generar distintas figuras planas.

No es posible ver un hipercubo porque el ser humano está sujeto a tres dimensiones, por lo que solo puede verse la proyección de lo que sería un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Sin embargo, en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las aristas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.

Propiedades 250px|thumb|Cuatro de las ocho celdas cúbicas tridimensionales anidadas en un teseracto, representadas en su diagrama de Hasse mini|250px|Representación del diagrama de Schlegel de un teseracto como superficie jabonosa en un cubo de alambre

Definición Se llama cubo unitario de cuatro dimensiones al conjunto de puntosGelfand/Glagolieva/ Kirillov: El método de coordenadas Editorial Mir, Moscú (1981), pg. 82 (x, y, z, t) que cumplen las relaciones 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1 0 ≤ t ≤ 1.

Coordenadas Con carácter general, un hipercubo unidad con n dimensiones es la envoltura convexa de los puntos dados por todas las permutaciones binarias de las coordenadas cartesianas . Tiene una longitud de lado de arista de 1 y un volumen n-dimensional de 1.

Vértices Los vértices del cubo unitario son los puntos (x, y, z, t) en los cuales x, y, z, t están reemplazados o bien por un cero o bien por la unidad. Dichos vértices son 16, dado que representan el número de variaciones con repetición de dos elementos tomados cuatro a cuatro.Op. cit. pg. 86

Aristas Se llaman aristas del cubo unitario de cuatro dimensiones a los conjuntos de puntosOp. cit. pg. 87 que tienen todas sus coordenadas, a excepción de una, constantes (iguales a 0 o 1) y la cuarta toma todos los valores desde 0 hasta 1. Por lo tanto, cualquier arista es un conjunto de la forma:

donde: , es un elemento de la base canónica de , designa uno de los vértices del cubo, adecuadamente escogido. Ejemplos de aristas: x=0, y=0, z=0, 0 ≤ t ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1, y=0, z=0, t=0 x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0, t = 1

Cada cubo unitario tetradimensional cuenta con 32 aristas.

Caras bidimensionales y tridimensionales Las caras bidimensionales pueden escribirse como combinaciones lineales de los puntos de dos aristas:

Análogamente las caras tridimensionales son conjuntos de la forma:

Diagonal principal En un n-cubo la diagonal principal viene dada por:

siendo L la longitud de la arista, como se puede demostrar por inducción a partir del teorema de Pitágoras:

Para un hipercubo ordinario en cuatro dimensiones (n = 4) la diagonal principal mide el doble del lado de la arista Dn = 2L.

Hipervolumen y volumen El hipervolumen tetradimensional encerrado en un hipercubo es L4, mientras que el volumen de su frontera es 23L3. Para un n-cubo de arista L, se tienen los siguientes valores del n-volumen y del

Cálculo del número de elementos

Es relativamente sencillo deducir por inducción el número de vértices, aristas, caras y volúmenes de un teseracto, viendo lo que va sucediendo cuando se genera a partir de un vértice un segmento, a partir un segmento un cuadrado, a partir de un cuadrado un cubo, y a partir de un cubo finalmente un teseracto: Paso 0: Situación de partida: 1 Vértice Paso 1: Al desplazar el vértice, se genera otro vértice y una arista: 2 Vértices // 1 Arista Paso 2: Al desplazar la arista perpendicularmente, se duplica el número de vértices, se generan cuatro aristas (la original, su desplazada, y una por cada vértice de partida) y un cuadrado: 4 Vértices // 4 Aristas // 1 Cara Paso 3: Al desplazar la cara perpendicularmente, se duplica otra vez el número de vértices, se generan doce aristas (las cuatro originales, sus desplazadas, y una por cada vértice de partida), seis caras cuadradas (la original, su desplazada, y una por cada arista de partida), y un cubo: 8 Vértices // 12 Aristas // 6 Caras // 1 Volumen Paso 4: Al desplazar el cubo perpendicularmente en la cuarta dimensión, se duplica de nuevo el número de vértices, se generan 32 aristas (las doce originales, sus desplazadas, y una por cada vértice de partida), 24 caras cuadradas (las seis originales, sus desplazadas, y una por cada arista de partida), 8 cubos (el original, su desplazado y uno por cada cara de partida) y 1 teseracto: 16 Vértices // 32 Aristas // 24 Caras // 8 Volúmenes // 1 Hipervolumen

Sin embargo, existe una fórmula general que permite calcular el número de cada uno de los elementos (vértices, aristas, caras...) que componen un cubo n-dimensional, basada en el binomio de Newton , mediante el cálculo de los sumandos de su desarrollo. En esta expresión, se debe imponer que y , y el valor de n equivale al número de dimensiones (4 en el caso del teseracto):

siendo:

Entonces, como ya se ha indicado, particularizando la fórmula con y ; y para el caso del teseracto con , se tiene que:

Los valores de estos cinco sumandos , se corresponden con los números de del teseracto.

Una curiosa propiedad que se deduce de esta fórmula es que la suma del número de todos los elementos de un n-cubo, es , el resultado de operar el primer miembro de la fórmula del binomio de Newton una vez particularizado ().

Geometría El teseracto se puede construir de varias maneras. Como politopo regular con tres cubos acoplados juntos alrededor de cada arista, tiene símbolo de Schläfli {4,3,3} con simetría hiperoctaedral de orden 384. Construido como un prisma de cuatro dimensiones a partir de dos cubos paralelos, le corresponde un símbolo de Schläfli compuesto {4,3} × { }, con un orden de simetría 96. Como un duoprisma 4-4, un producto cartesiano de dos cuadrados, puede ser identificado por el símbolo de Schläfli compuesto {4}×{4}, con un orden de simetría 64. Como hiperrectángulo, se puede representar con el símbolo de Schläfli compuesto { } × { } × { } × { }, o también { }4, con el orden de simetría 16.

Como cada vértice de un teseracto es adyacente a cuatro aristas, la figura de vértice del teseracto es un tetraedro regular. El poliedro conjugado del teseracto se llama hexadecacoron regular, o 16-celda, con el símbolo de Schläfli {3,3,4}, con el que se puede combinar para formar el compuesto de teseracto y 16-celda.

El teseracto estándar en cuatro dimensiones se da como la envolvente convexa del conjunto de puntos (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Es decir, consta de los vértices:

Un teseracto está limitado por ocho hiperplanos (xi = ±1). Cada par de hiperplanos no paralelos se cruzan para formar 24 caras cuadradas en un teseracto. Tres cubos y tres cuadrados se cruzan en cada borde. Se delimitan cuatro cubos, seis cuadrados y cuatro bordes reunidos en cada vértice. En definitiva, consta de 8 cubos, 24 cuadrados, 32 aristas y 16 vértices.

Proyecciones en dos dimensiones La construcción de hipercubos se puede imaginar de la siguiente manera: Unidimensional: Se pueden conectar dos puntos A y B mediante una recta, generándose el segmento AB. Bidimensional: Se pueden conectar dos segmentos paralelos AB y CD para convertirse en un cuadrado, con las esquinas marcadas como ABCD. Tridimensional: Se pueden conectar dos cuadrados paralelos ABCD y EFGH para convertirse en un cubo, con las esquinas marcadas como ABCDEFGH. Tetradimensional: Se pueden conectar dos cubos paralelos ABCDEFGH e IJKLMNOP para convertirse en un teseracto, con las esquinas marcadas como ABCDEFGHIJKLMNOP.

Es posible proyectar teseractos en espacios tridimensionales y bidimensionales, de manera similar a proyectar un cubo en un espacio bidimensional.

Las proyecciones en el plano 2D se vuelven más instructivas al reorganizar las posiciones de los vértices proyectados. De esta manera, se pueden obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales dentro del teseracto, pero que ilustran la estructura de conexión de los vértices, como en los siguientes ejemplos:

Un teseracto se obtiene en principio combinando dos cubos. El esquema es similar a la construcción de un cubo a partir de dos cuadrados: se yuxtaponen dos copias del cubo de dimensiones inferiores y se conectan los vértices correspondientes. Todas las aristas de un teseracto son de la misma longitud. Esta vista es interesante cuando se usan teseractos como base para que una topología de red vincule múltiples procesadores en computación paralela: la distancia entre dos nodos es como máximo de 4 y hay muchas rutas diferentes con un peso equilibrado.