En matemáticas, la orientabilidad es una propiedad de algunos espacios topológicos como el espacio vectorial, el espacio euclídeo, las superficies y, más generalmente, las variedades, que permite una definición coherente de los conceptos sentido horario y sentido antihorario. Un espacio es orientable si existe tal definición consistente. En este caso, hay dos definiciones posibles, y una elección entre ellas es una orientación del espacio. Los espacios vectoriales reales, los espacios euclídeos y las esferas son orientables. Un espacio es no orientable si recorrida "en el sentido de las agujas del reloj" se cambia "al sentido contrario a las agujas del reloj" después de recorrer algunos bucles en él y volver al punto de partida. Esto significa que una forma, como , que se mueve continuamente en dicho bucle se transforma en su propia imagen especular . Una banda de Möbius es un ejemplo de un espacio no orientable.
Se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, según la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de homología, mientras que para variedades diferenciables hay más estructuras presentes, lo que permite una formulación en términos de forma diferencial. Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un fibrado) para lo cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en los valores del parámetro.
Superficies orientables
Una superficie S en un espacio euclídeo R3 es orientable si una figura bidimensional (por ejemplo, ) no se puede mover alrededor de la superficie y regresar a donde comenzó para que se vea como su propia imagen especular (). De lo contrario, la superficie es no orientable. Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional) es orientable si se puede definir un concepto consistente de rotación en el sentido de las agujas del reloj en la superficie de manera continua. Es decir, un bucle que gira en un sentido sobre la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin superponerse a sí mismo) en un bucle que gira en el sentido opuesto. Esto resulta ser equivalente a la pregunta de si la superficie no contiene ningún subconjunto que sea un homeomorfismo a la banda de Möbius. Así, para las superficies, la banda de Möbius puede considerarse la fuente de toda falta de orientabilidad.
Para una superficie orientable, una elección consistente de "sentido horario" (en oposición a "sentido antihorario") se denomina "orientación" y la superficie se denomina "orientada". Para las superficies incrustadas en el espacio euclídeo, la orientación se especifica mediante la elección de una dirección normal n que varía continuamente en cada punto. Si tal normal existe, siempre hay dos formas de seleccionarla: n o −n. Más generalmente, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre una superficie "orientada" y una superficie "orientable" es sutil y frecuentemente difusa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie abstractamente orientable, y tiene el dato adicional de elegir una de las dos orientaciones posibles.
Ejemplos La mayoría de las superficies que se encuentran en el mundo físico son orientables. Las esferas, los planos y las superficies tóricas son orientables, por ejemplo. Pero la banda de Möbius, el plano proyectivo real y la botella de Klein no son orientables. Estos últimos elementos, tal como se visualizan en 3 dimensiones, todos tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en R3, y solo pueden someterse a inmersión mediante intersecciones.
Debe tenerse en cuenta que, localmente, una superficie sometida a inmersión siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se desplazara sobre una superficie de un solo lado pensaría que hay "otro lado". La esencia de la unilateralidad es que la hormiga puede trasladarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesar la superficie o dar la vuelta sobre un borde, sino simplemente moviéndose lo suficiente.
En general, la propiedad de ser orientable no equivale a ser de dos caras; sin embargo, esto es válido cuando el espacio envolvente (como R3 en los casos anteriores) es orientable. Por ejemplo, una superficie tórica inmersa en
puede ser de un solo lado, y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser de dos lados; aquí se refiere a la botella de Klein.
Orientación por triangulación Cualquier superficie tiene una triangulación: una descomposición en triángulos tal que cada borde de un triángulo está pegado como máximo a otro borde. Cada triángulo se orienta eligiendo una dirección alrededor del perímetro del triángulo, asociando una dirección a cada borde del triángulo. Si esto se hace de tal manera que, cuando se pegan, los bordes vecinos apuntan en la dirección opuesta, entonces esto determina la orientación de la superficie. Tal elección solo es posible si la superficie es orientable, y en este caso hay exactamente dos orientaciones diferentes.
Si la figura 20px se puede posicionar consistentemente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación seleccionando la dirección de cada uno de los triángulos con base en el orden rojo-verde-azul de colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.
Este enfoque se generaliza a cualquier variedad de orden n que tenga una triangulación. Sin embargo, algunas variedades de orden 4 no tienen triangulación y, en general, para n > 4, algunas variedades de n tienen triangulaciones que no son equivalentes.
Orientabilidad y homología
Si H1(S) denota el primer grupo de homología de una superficie S, entonces S es orientable si y solo si H1(S ) tiene un subgrupo de torsión trivial. Más precisamente, si S es orientable, entonces H1(S) es un grupo abeliano libre, y si no, H1(S) = F + Z/2Z donde F es abeliano libre, y se genera el factor Z/2Z por la curva central en una banda de Möbius inmersa en S.
Orientabilidad de variedades
Sea M una n-variedad topológica conexa. Hay varias definiciones posibles de lo que significa que M sea orientable. Algunas de estas definiciones requieren que M tenga una estructura adicional, como ser diferenciable. Ocasionalmente, debe convertirse en un caso especial. Cuando se aplica más de una de estas definiciones a M, entonces M es orientable bajo una definición si y solo si es orientable bajo las otras.
Orientabilidad de variedades diferenciables
Las definiciones más intuitivas requieren que M sea una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de M son funciones C1. Tal función admite un determinante jacobiano. Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición conserva la orientación. Un atlas orientado en M es un atlas para el cual todas las funciones de transición conservan la orientación. M es orientable si admite un atlas orientado. Cuando , una orientación de M es un atlas orientado al máximo (de forma que , una orientación de M, es una función }).
La orientabilidad y las orientaciones también se pueden expresar en términos del haz de tangentes. El haz de tangentes es un fibrado vectorial, por lo que posee una estructura de grupo . Es decir, las funciones de transición de la variedad inducen funciones de transición en el haz tangente que son transformaciones lineales por fibrado. Si el grupo de estructuras se puede reducir al grupo de matrices determinantes positivas, o de manera equivalente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una orientación que preserva la transformación lineal en cada espacio tangente, entonces la variedad M es orientable. Por el contrario, M es orientable si y solo si el grupo de estructuras del haz tangente se puede reducir de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el haz de marcos.
Otra forma de definir orientaciones en una variedad diferenciable es a través de su forma de volumen. Una forma de volumen es una sección omega que no desaparece en parte alguna de , la potencia exterior superior del haz cotangente de M. Por ejemplo, Rn tiene una forma de volumen estándar dada por . Dada una forma de volumen en M, la colección de todos los gráficos para los que la forma de volumen estándar retrocede a un múltiplo positivo de omega; es un atlas orientado. La existencia de una forma de volumen es, por lo tanto, equivalente a la orientabilidad de la variedad.
Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción de la orientabilidad. Si es una base de vectores tangentes en un punto p, entonces se dice que la base es destrógira si . Una función de transición conserva la orientación si y solo si envía bases destrógiras a bases destrógiras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo estructural del haz tangente o del haz de marcos a . Como antes, esto implica la orientabilidad de M. Por el contrario, si M es orientable, entonces las formas de volumen local pueden unirse para crear una forma de volumen global, siendo necesaria la orientabilidad para garantizar que la forma global no desaparezca.
La homología y la orientabilidad de las variedades generales
En el corazón de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable está la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué preservan exactamente tales funciones de transición. No pueden preservar una orientación de la variedad porque una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición conserva o no conserva un atlas del cual es miembro.
Esta cuestión se puede resolver definiendo orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto p corresponde a la elección del sentido a la izquierda o a la derecha cerca de ese punto. En una variedad bidimensional, corresponde a una elección de sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común de que se describen en términos de comportamiento de dimensión superior cerca de p pero no en p. Para el caso general, sea M una variedad topológica n. Una orientación local de M alrededor de un punto p es una elección de generador del grupo
Para ver el significado geométrico de este grupo, elíjase un gráfico alrededor de p. En ese gráfico hay una vecindad de p que es una bola abierta B alrededor del origen O. Por el teorema de escisión, es isomorfo a . La bola B es contráctil, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en el grado cero, y el espacio es una esfera , por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en los grados y . Un cálculo con sucesión exacta mediante una homología relativa muestra que el grupo de homología anterior es isomorfo a . Por lo tanto, la elección del generador corresponde a la decisión de si, en el grafo dado, una esfera alrededor de p es positiva o negativa. Un reflejo de a través del origen actúa por negación sobre , por lo que el significado geométrico de la elección del generador es que distingue los grafos de sus imágenes reflejadas.
En una variedad topológica, una función de transición conserva la orientación si, en cada punto p de su dominio, fija los generadores de . A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es aquel para el que todas las funciones de transición conservan la orientación, M es orientable si admite un atlas orientado, y cuando , una orientación de M es un atlas orientado al máximo.