En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido de un grupo es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento y cada , el elemento está en . Se denota .
Definición
Definiciones equivalentes
Propiedades
y son siempre subgrupos normales de . Si éstos son los únicos subgrupos normales de , se dice que es simple. Los subgrupos normales de cualquier grupo forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son y , el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto. Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. Si es de índice 2 () entonces es normal en . El centro de un grupo es normal en el grupo.
Grupo cociente Sea un grupo y . Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de en , y lo denotaremos .
Podemos definir en la operación (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).
La proyección canónica es un homomorfismo de grupos.
Grupos normales y homomorfismos
Sean y grupos y sea un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de es normal en : . De hecho, un subgrupo es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos tal que .
Referencias
Véase también
Normalizador Ideal de un anillo
Categoría:Teoría de grupos