derecha|280px La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario o de causalidad a la derecha del cero, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:Spiegel y Abellanas, 1988, p. 182
que se define de esta forma:
En ocasiones esta función suele denotarse por .
Aplicaciones Esta función tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.
Definiciones alternativas 250px|thumb|función escalón considerando . Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor , que es convencional. La mayoría de autores lo definen como , otros . Algunos que lo definen como , ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:
Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para , de la siguiente forma:
Una forma de representar esta función es a través de la integral
Definición como límite de otras funciones.
Aproximaciones analíticas Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la función escalón, se puede usar la función logística
donde una más grande corresponde a una transición más afilada en . Si tomamos , la igualdad se establece en el límite:
Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función escalón. Entre las posibilidades están:
Estos límites se mantienen para todo puntoWikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise así como en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para todo punto.Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function#Algebraic_representation
en general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad común: distribución logística, de Cauchy y normal, respectivamente.
Propiedades Cambio de signo del argumento.
La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.
Transformada de Laplace.
La función primitiva es la función rampa:
Es la integral de la función delta de Dirac.
Escalón de tiempo discreto Se trata de la sucesión entera u : Z → {0, 1} definida por
La función escalón se emplea con frecuencia en procesamiento de señales, para describir el comportamiento de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La respuesta al escalón sn se define como la salida de un sistema excitado por un escalón . Puede demostrarse que la respuesta impulsiva del sistema LTI se calcula a partir de la respuesta al escalón, denotada por , de la siguiente manera
Véase también Continuidad (matemática)
Función definida a trozos
Función rectangular Función escalonada
Función identidad Función signo Valor absoluto Función rampa Funciones de parte entera Parte fraccionaria Mantisa
Referencias
Bibliografía Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
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