En análisis matemático, el teorema del valor medio para diferencias divididas generaliza el teorema del valor medio a derivadas de orden superior.
Enunciado del teorema
Para cualesquiera n + 1 puntos distintos entre sí x0, ..., xn en el dominio de una función f derivable n veces, existe un punto interior
donde la n-ésima derivada de f es igual a n! veces la n-ésima diferencia dividida en estos puntos:
Para n = 1, es decir, dos puntos de la función, se obtiene el teorema del valor medio simple.
Demostración
Sea la interpolación polinómica de Lagrange para f en x0, ..., xn. Entonces, se deduce de la forma de Newton de que el término de mayor orden de es .
Sea el resto de la interpolación, definido por . Entonces tiene ceros: x0, ..., xn. Al aplicar el teorema de Rolle primero a , luego a , y así sucesivamente hasta , se tiene que tiene un cero . Esto significa que
,
Aplicaciones El teorema puede utilizarse para generalizar la media de Stolarsky a más de dos variables.
Referencias
Categoría:Diferencia finita