En matemáticas, el término diferencias divididas denomina un algoritmo utilizado históricamente para calcular tablas de logaritmos y funciones trigonométricas. La máquina diferencial de Charles Babbage, una calculadora mecánica precursora, fue diseñada para usar este algoritmo en su funcionamiento.
La diferencia dividida es un proceso recursivo de división. Dada una secuencia de puntos de datos , el método calcula los coeficientes de un polinomio interpolante de estos puntos con la configuración de Newton.
A veces se denota con una delta con una barra: o .
Definición Dados n+1 puntos de datos:
donde se asume que los son distintos entre sí, las diferencias divididas hacia adelante se definen como:
Para clarificar el proceso recursivo de cálculo, las diferencias divididas se pueden presentar en forma tabular, donde las columnas corresponden al valor de j mencionado anteriormente, y cada entrada de la tabla se calcula a partir de la diferencia entre las entradas inmediatamente inferiores a su izquierda y superiores a su izquierda, dividida por la diferencia de los valores x correspondientes:
Notación Nótese que la diferencia dividida depende de los valores e , pero la notación oculta esta dependencia de los valores x. Si los puntos de datos vienen dados por una función f,
a veces se escribe la diferencia dividida con la notación:
Otras notaciones para la diferencia dividida de la función ƒ en los nodos x0, ..., xn son:
Ejemplo
Diferencias divididas para y los primeros valores de :
Por lo tanto, la tabla correspondiente a estos términos, hasta dos columnas, tiene la siguiente forma:
Propiedades Linealidad:
Regla de Leibniz:
Las diferencias divididas son simétricas: Si es una permutación, entonces :
Interpolación polinómica en la forma de Newton: Si es una función polinómica de grado , y es la diferencia dividida, entonces:
Si es una función polinómica de grado , entonces :
Teorema del valor medio para diferencias divididas: Si es diferenciable n veces, entonces:
para un número en el intervalo abierto determinado :por el menor y el mayor de los .
Forma matricial El esquema de diferencias divididas se puede expresar en una matriz triangular superior:
Entonces se cumple:
si es un escalar
Esto se deduce de la regla de Leibniz, e implica que la multiplicación de dichas matrices es commutativa. En resumen, las matrices de esquemas de diferencias divididas con respecto al mismo conjunto de nodos x forman un anillo conmutativo.
Dado que es una matriz triangular, sus autovalores son obviamente .
Sea una función tipo delta de Kronecker, es decir:
.
Obviamente , por lo tanto, es una autofunción de la multiplicación de funciones punto a punto. Es decir, es de alguna manera una "automatriz" de : . Sin embargo, todas las columnas de son múltiplos entre sí, y el rango de es 1. Por lo tanto, se puede componer la matriz de todos los autovectores de a partir de la -ésima columna de cada . Denótese la matriz de autovectores con . Por ejemplo:
.
La diagonalización de se puede escribir como:
Polinomios y series de potencias La matriz
contiene el esquema de diferencias divididas para la función identidad con respecto a los nodos . Por lo tanto, contiene las diferencias divididas para la función potencia con exponente .
En consecuencia, se pueden obtener las diferencias divididas para un polinomio aplicando a la matriz :
Si
y
entonces
Esto se conoce como la fórmula de Opitz.de Boor, Carl, Divided Differences, Surv. Approx. Theory 1 (2005), 46–69, Opitz, G. Steigungsmatrizen, Z. Angew. Math. Mech. (1964), 44, T52–T54
Ahora considérese aumentar el grado de hasta el infinito, es decir, convertir el polinomio de Taylor en una serie de Taylor.
Sea una función que corresponde a una serie de potencias.
Se puede calcular el esquema de diferencias divididas para aplicando la serie matricial correspondiente a :
Si
y
entonces
Caracterizaciones alternativas
Forma expandida
Con la ayuda del polinomio , esto se puede escribir como:
Forma de Peano Si y , las diferencias divididas se pueden expresar como:
donde es el -ésimo derivada de la función y es un cierto B-spline de grado para los puntos de datos , dado por la fórmula
Esto es una consecuencia del teorema del núcleo de Peano, se denomina forma de Peano de las diferencias divididas y es el núcleo de Peano para las diferencias divididas, todos estos elementos nombrados en referencia a Giuseppe Peano.
Diferencias hacia adelante y hacia atrás
Cuando los puntos de datos están distribuidos equidistantemente, se obtiene el caso especial denominado diferencias hacia adelante. Son más fáciles de calcular que las diferencias divididas, que son más generales.
Dados n+1 puntos de datos:
con:
las diferencias hacia adelante se definen como:
mientras que las diferencias hacia atrás se definen como:
Por lo tanto, la tabla de diferencias hacia adelante se escribe como:
mientras que la tabla de diferencias hacia atrás se escribe como:
La relación entre las diferencias divididas y las diferencias hacia adelante es:
mientras que para las diferencias hacia atrás:
Fórmula explícita
Cuando los puntos de datos están equidistantes, también se puede deducir una fórmula explícita para . Para cualesquiera y fijos tales que ,
Demostración.
Esto se demuestra por inducción sobre :
Caso base: Sean y . Entonces, por definición, , y
Paso de inducción: Supóngase que la fórmula anterior se cumple hasta y considérese que tal que . Por definición recursiva, se obtiene:
Se puede aplicar la hipótesis inductiva a ambos miembros del lado izquierdo y obtener:
Esto se puede reordenar como:
donde cuando . Se demuestra el enunciado para sustituyendo la identidad:
Véase también Cociente de diferencias Algoritmo de Neville Interpolación polinómica Teorema del valor medio para diferencias divididas Integral de Nörlund-Rice Triángulo de Pascal Interpolación polinómica de Lagrange
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Una implementación del algoritmo de diferencias divididas en Haskell.
Categoría:Diferencia finita